牛顿的解释'；java上的s方法示例

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问题是……我完全理解这个程序是如何工作的。我的问题是方程f（x）=x^2-c，以及它与上面代码的关系。为什么要把它除以x，这样x（x-c/x）？对于其中一些例子，似乎缺少数学上的解释。换句话说，我想从一个简单的数学角度来解释，而不是编写那么多代码。

基于，Javadoc注释中已经解释了以下内容：

 *  Computes the square root of a nonnegative number c using
 *  Newton's method:
 *     - initialize t = c
 *     - replace t with the average of c/t and t
 *     - repeat until desired accuracy reached

基于此，Javadoc注释中已经解释了以下内容：

 *  Computes the square root of a nonnegative number c using
 *  Newton's method:
 *     - initialize t = c
 *     - replace t with the average of c/t and t
 *     - repeat until desired accuracy reached

好的，我将给它一个重击（参见内联注释）：

好的，我将给它一个重击（参见内联注释）：

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你得到了

c

，你想解决这个问题

t = sqrt(c)

或同等地

c = t^2

或者再说一次

c - t^2 = 0.

我将调用上面的方程

f（t）=0

（因为它是一个给定的常数，所以没有提到

c

）。 牛顿方法迭代

t

的试验值，我将其标记为

t_I，t_{I+1}，…

一阶泰勒展开式为：

f(t_i + dt_i) = f(t_i) + dt_i * f'(t_i) + ...

所以如果你没有足够的

f（t_i）=0

，你可以添加一个

dt_i

，这样

f(t_i + dt_i) nearly = 0 = f(t_i) + dt_i * f'(t_i) + ...

因此

dt_i=-f（t_i）/f'（t_i）

，即

f（t_i+-f（t_i）/f'（t_i））

比

f（t_i）

更接近于零

如果你做

f（t）=c-t^2

的导数，你会看到，code

t{i+1}=（c/t{i+t{i）/2

中的方程就是上面估计的

t{i+1}=t{i+dt{code>的迭代公式

这是一种迭代方法，所以不能给出精确解。您需要决定何时停止（足够精确），否则算法将永远继续。这就是为什么要检查
f（ti）
，而不是真正的
f（ti）=0
。在他们的案例中，他们选择了一个
阈值=epsilon*t^2
；我认为使用
t^2
的乘法是因为如果使用固定常数作为阈值，可能会遇到数值精度问题（即，如果使用万亿，由于浮点表示的精度有限，您永远无法获得
10^{-10}
的固定精度。）
你得到了
c
，你想要解决

t = sqrt(c)

或同等地

c = t^2

或者再说一次

c - t^2 = 0.

我将调用上面的方程
f（t）=0
（因为它是一个给定的常数，所以没有提到
c
）。
牛顿方法迭代
t
的试验值，我将其标记为
t_I，t_{I+1}，…

一阶泰勒展开式为：

f(t_i + dt_i) = f(t_i) + dt_i * f'(t_i) + ...

所以如果你没有足够的
f（t_i）=0
，你可以添加一个
dt_i
，这样

f(t_i + dt_i) nearly = 0 = f(t_i) + dt_i * f'(t_i) + ...

因此
dt_i=-f（t_i）/f'（t_i）
，即
f（t_i+-f（t_i）/f'（t_i））
比
f（t_i）
更接近于零

如果你做
f（t）=c-t^2
的导数，你会看到，code
t{i+1}=（c/t{i+t{i）/2
中的方程就是上面估计的
t{i+1}=t{i+dt{code>的迭代公式

这是一种迭代方法，所以不能给出精确解。您需要决定何时停止（足够精确），否则算法将永远继续。这就是为什么要检查
f（ti）
，而不是真正的
f（ti）=0
。在他们的案例中，他们选择了一个
阈值=epsilon*t^2
；我认为使用t^2的乘法是因为如果使用固定常数作为阈值，可能会遇到数值精度问题（即，如果使用万亿，由于浮点表示的精度有限，您永远无法获得固定精度的
10^{-10}
）

我相信上面提到的代码来自R.Sedgewick的书《Java编程入门》，第62页。他在书中试图说的是，你可以用
f（x）=x^2-c
作为特例来求任何正数的平方根。那么它是如何工作的：

牛顿的方法说明
X（n+1）=X（n）-（F（X（n））/F'（X（n）））
。假设在
F（X）=X^2-C
，其中
C=2
，因为我们正在寻找2的平方根（如果你想找到36的平方根，那么
C=36
等等）。然后函数
F（X）
的一阶导数是
F'（X）=2X
。应用牛顿法，我们得到

X（n+1）=X（n）-（X^2-C）/（2X））

对于
X（0）=2，我们得到
n=1，
X（1）=2-（2^2-2）/（2*2）
X（1）=1.5
；
n=2
X（2）=1.5-（1.5^2-2）/（2*1.5）
X（2）=1.41666667
等等…
ejlab.net jelmar

我相信上面提到的代码来自R.Sedgewick的书《Java编程入门》，第62页。他在书中试图说的是，你可以用
f（x）=x^2-c
作为特例来求任何正数的平方根。那么它是如何工作的：

牛顿的方法说明
X（n+1）=X（n）-（F（X（n））/F'（X（n）））
。假设在
F（X）=X^2-C
，其中
C=2
，因为我们正在寻找2的平方根（如果你想找到36的平方根，那么
C=36
等等）。然后函数
F（X）
的一阶导数是
F'（X）=2X
。应用牛顿法，我们得到

X（n+1）=X（n）-（X^2-C）/（2X））

对于
X（0）=2，我们得到
n=1，
X（1）=2-（2^2-2）/（2*2）
X（1）=1.5
；
n=2
X（2）=1.5-（1.5^2-2）/（2*1.5）
X（2）=1.41666667
诸如此类……
我觉得我应该回答这个问题。这可能不是最礼貌的说法，但我觉得您可以花20分钟与讲师或教授讨论此代码。如果上面代码中的注释不够帮助，您可能需要更多帮助