Java 证明树是从子树'；平衡性

我正在解决“破解编码面试”中的以下问题：实现一个函数来检查二叉树是否平衡。平衡树是这样一种树：任何节点的两个子树的高度相差不会超过一个

本书的示例解决方案（复制如下）假设从节点发出的树是平衡的，前提是（a）节点的左右子树是平衡的；（b）节点本身是平衡的。我想知道为什么会这样？上述两个条件的实现如何证明来自节点的整个树是平衡的

谢谢

public static boolean isBalanced(TreeNode root)
{
    if (checkHeight(root)==-1)
        return false;
    return true;
}


public static int checkHeight(TreeNode root)
{
    //base case
    if (root == null)
        return 0;

    //is left subtree balanced
    int leftHeight = checkHeight(root.leftChild);

    if (leftHeight == -1)
        return -1;

    //is right subtree balanced
    int rightHeight = checkHeight(root.rightChild);

    if (rightHeight == -1)
        return -1;

    //is current node balanced
    int heightDiff = leftHeight - rightHeight;

    if (Math.abs(heightDiff) > 1)
        return -1;

    return (Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1);
}

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平衡二叉树是指左右两个子树的总深度相差不超过1的树。这里，给出的解决方案是递归的，首先检查子对象本身是否平衡，然后检查父对象是否平衡。它通过检查子对象的左、右子树的深度来实现这一点，如果它们之间的深度相差atmost 1，则返回

max（left\u depth，right\u depth）+1

。如果不是，则返回

-1

。然后，该算法对整个树继续执行此操作。如果深度在任意点为-1（表示子树未平衡），则子树的总体深度将返回为-1。最后，只需检查树的总深度是否为-1：如果为-1，则树不平衡，否则为-1

以下是归纳法形式的算法：

• 基本情况
  叶节点-平凡平衡，具有0个子节点。它返回1，因为 深度将包括子对象数（0）和子对象数 节点本身

• 归纳案例
  中间节点，如果子节点是 平衡，左侧子对象的深度与右侧子对象的深度相差atmost 1。 如果平衡，它返回

  max（left\u depth，right\u depth）+1

  ，表示树的总深度， 包括节点本身。如果不平衡，只需返回

  -1

• 最后
  根节点，与感应情况一样进行检查，但如果平衡，则 整个树是平衡的，总深度为

  max（left\u depth，right\u depth）+1

  ，其中

  left\u depth

  和

  right\u depth

  表示左/右子树相对于根节点的深度

可以找到之前提出的一个SO问题，该问题涵盖了BST编码的几个非常有趣的方面。

这是递归的一个应用程序–例程计算被检查节点的左、右子树的高度，同时递归验证子树。如果发现任何节点不平衡或子树高度正常，则返回

-1

。子树高度的比较决定当前节点是否平衡

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顺便说一句，在整个

checkHeight（）

函数中将

root

替换为

currnode

，以明确例程如何递归地应用于树中的每个节点，而不仅仅是它的根。

既然您要求它，这里有一些关于归纳的更多信息：

忘记你所知道的关于归纳法的一切，这里是真实的东西。如果我们有一些关系R，R被认为是有充分根据的当且仅当不存在无限下降链x1，x2，x3。。。使用x1 R x2、x2 R x3等。（“下降”是因为人们在思考<关于数字的问题）

例如，<基于自然数，而不是实数

有着良好的关系，你就有了

（对于所有x:（对于所有y:x RY->p（y））->p（x））对于所有x:p（x）

换句话说，它足以表明所有最小元素都是wrt。R有一些性质，然后证明如果所有比x小的元素都满足P，那么x也满足P

特殊情况是您可能知道的归纳法：

（p（0）&对于所有n:p（n）->p（n+1））->对于所有n:p（n）（这里有充分的基础的关系是后继函数）

对于有限树，子树关系（显然）是有充分基础的，因此我们可以（实际上让我们使用传递闭包，使证明更短。它仍然是有充分基础的）：

基本情况：（叶，这些是最小wrt子树关系） 子级为0的叶是平衡的，非常简单

归纳法： 假设所有子树（以及它们的子树等等）都是平衡的，并且根节点是平衡的，所有节点都是平衡的，没有可能不平衡的节点（参见我在这里所做的吗？）

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如果我们也注意到平衡意味着子树是平衡的，那么我们可以在不使用传递闭包的情况下实现这一点。那么我们可以说，让直接子树保持平衡意味着它们的所有子树也保持平衡，我们回到了我的证明。

谢谢，有抱负的中士。你能解释一下你的答案中说中间节点是平衡的，如果“子节点是平衡的，左边子节点的深度等于右边子节点的深度”，有证据证明吗？@randomUser47534：对不起。我回答错了。如果子对象是平衡的，则左侧子对象的深度不等于右侧子对象的深度，但与右侧子对象的深度相差最多1。这源于BST平衡的定义方式——根据我引用的链接[1]，平衡BST是指左右节点的高度差不超过1的BST，因此这源于定义。然后简单地在树上递归，从叶子开始，以确保这个定义在每一点上都成立。第一句混淆了重量平衡和高度平衡。OP和你的回答谈到了身高平衡，但你的第一句定义了体重平衡。为什么没有人说归纳法？@kutschkem你能解释一下，或者给我举一个归纳法用来证明平衡的例子吗？谢谢