Java for-loop算法的大O分析

我在分析以下for循环算法时遇到问题：

for (int i = 1; i < n; i = i * C)
    for (int j = 0; j < i; j++)
        Sum[i] += j * Sum[i];

for（int i=1；i

我知道第一行的复杂性是O（logn）（只要C>1），但让我困惑的是第二行。我相信我了解it的基本情况：

比如说,

如果n=20，内部循环将执行1+2+4+8+16“功”

---

但我不知道怎么写出来。我几乎可以肯定在循环中完成的总功是O（n），第一行是O（logn），但是我如何更具体地指定中间行的作用呢？

I

将具有以下形式的值：

C^0, C^1, C^2, ...., C^ log_c(n)

因此，内部循环将运行

C^0+C^1+C^2+…+C^log\u C（n）

次。这是一个几何级数，其总和为：

因此，用

C

取代

r

，用

log\u C（n）

取代

n

，我们得到：

（1-C^log_C（n））/（1-C）=（1-n）/（1-C）

，对于任何

C>1

都是正的，并且与

n

成比例。因此，复杂性实际上是

O（n）

---

（公式图像取自）

我将使用乳胶式符号

sum_{k=a}^bf（I）

来表示总和

f（a）+f（a+1）+f（b）

，我将写

a^b

，表示

a

升到

b

的次幂

首先，找到正整数

p

，这样

C^p

：

---

（n-1）/（c-1）如果
n
不是
c
的幂，那么
log\u c（n）
甚至不是整数，因此
i
不会取值
c^log\u c（n）
。如果
n
是
C
的
p
次方（即：
n=C^p
），那么for循环将停止在
C^{p-1}
，因为有一个
@AndreyTyukin我同意计算不是最迂腐的，但它足以进行big-o推理。有其他方法也很好。嗯，是的。但也有一种危险，即一个人太快地删除了一些因子，然后以
C^（隐藏因子*log（n））
（多项式）而不是
隐藏因子*n
（线性）结束。在上面的计算中，立即删除系数
C
（这大约是
C^p+1
和
C^{p+1}
之间的系数）。事实证明，在这种情况下是可以的。但是在另一种情况下，如果总的努力是像
2^{cn}
而不是
2^n
，那将产生很大的不同。
T = C^0 + C^1 + ... + C^p = sum_{k=0}^p C^k = (C^{p + 1} - 1) / (C - 1)

p < log_C(n) <= p+1

log_C(n) - 1 <= p < log_C(n)

(n - 1) / (c - 1) <= (C^{p + 1} - 1) / (C - 1) = T < (Cn - 1) / (c - 1)