Java 为什么我在这两个不同的嵌套for循环中得到不同的时间复杂性？

好的，我知道两个嵌套的for循环，每个循环递增1，就得到了二次时间复杂度。然后我好奇地想知道如果我改变其中一个循环的更新，以2的乘法递增，我会得到O（n logn）而不是O（n^2），反之亦然

在每个内部循环中，我都有一个变量来计算循环执行的次数。数组大小为2^20，因此为1048576。我认为这两种方法应该具有相同的复杂度n logn（20*1048576）。但只有算法2接近该复杂度，算法1的复杂度为n*2

据我所知，一个循环是O（n），另一个是O（logn），所以它应该是O（n logn），如果我切换它们，我应该得到O（logn）的复杂度，这是相同的

 int[] arr = new int[1048576];

    // Algorithm 1
    int counter1 = 0;
    for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
        for (int j = i; j < arr.length; j *= 2) {
            counter1++;
        }
    }
    System.out.println(counter1);

    // Algorithm 2
    int counter2 = 0;
    for (int i = 1; i < arr.length; i *= 2) {
        for (int j = i; j < arr.length; j++) {
            counter2++;
        }
    }
    System.out.println(counter2);

    // counter1: 2097130 (n * 2)
    // counter2: 19922945 (n log n)

int[]arr=newint[1048576]；
//算法1
int计数器1=0；
对于（int i=1；i

您发布的两个解决方案都具有相同的复杂性，我假设您忘记了将内部for循环begin子句变量交换

具有常数因子的O（n^2）。 Big-O表示法的工作原理如下：

n/2*n是循环所需的时间（两个u中的任意一个）

->1/2*n*n=1/2*n^2

1/2是因素。

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复杂性是多项式，n^2是简单的数学。现在假设

w*=2

基本上需要20个步骤才能达到大约100万

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Algo 1将运行大约100万个j循环，但每个循环只需要大约20个j步骤即可完成。您在algo2上运行内部循环（尤其是第一次）的次数是数百万，而另一个将运行让我们计算第二个算法每个循环中的通过次数。让我们取

N=arr.length

首先是最外层的环。i的范围从1到N，每次乘以2，这使得

log（N）

迭代

然后，在最内部的循环中，j的范围从i到N，并且每次递增1，从而进行（N-i）次迭代

现在让我们看一下

k=log（i）

。因此，当k=0时，计数器2增加的总次数为总和（N-2^k），以记录（N）

k=0到2^k的对数（N）之和是一个几何和，加起来等于2^（对数（N）+1）-1so2n-1

因此，第二个循环的总复杂度是Nlog（N）-2N+1，即O（Nlog（N）），就像第一个循环一样

差是二阶项2N。如果我们推动我们的开发，第一个循环的复杂性为：

Nlog(N) + O(1)

第二点：

Nlog(N) - 2N + O(1)

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这两个循环的时间复杂度不同，因为这两个循环不是模棱两可的

n

。这是因为第一个算法的指数衰减消除了额外的步骤。