Math 解决圆碰撞

我正在编写软件，扩展到包括对碰撞的响应。圆边和圆矩形相当直接。但圆圈把我难住了

例如，在离散事件模拟中，让两个圆碰撞，一个红色，一个绿色。我们可能会遇到以下情况：

在它们碰撞后，我们可以立即：

这里RIP和GIP是上一个时钟滴答声中圆圈的位置。在当前时钟滴答声中，在RDP和GDP处检测到碰撞。然而，当两个圆圈处于RCP和GCP时，时钟信号之间发生碰撞。时钟滴答作响时，红色圆圈向下移动RVy，向右移动RVx；绿色圆圈向下移动GVy，向左移动GVx。RVy不等于GVy；RVx也不等于GVx

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当圆心之间的距离小于或等于圆的半径之和时，就会发生碰撞，也就是说，在上图中，d如果您正在寻找关于圆形物体非弹性碰撞的基本参考，Joe van den Heuvel和Miles Jackson的著作很容易理解

从最不正式到最正式，以下是一些后续参考资料，介绍如何实现支持问题解决方案的编程（碰撞响应）

• 布莱恩·贝克曼和查尔斯·托瑞
• Chris Hecker，游戏开发者，1997年
• David Baraff，在线Siggraph’97课程笔记，与刚体模拟特别相关的幻灯片

你将不得不接受一些近似值-贝克曼在视频中演示，即使是非常简单的情况，也不可能通过分析预测会发生什么，这更糟糕，因为你正在模拟一个具有离散步骤的连续系统。

“这就是问题：我如何采取行动。”

您可能想知道如何“在调整圆的速度分量之前将DPs定位回CPs。”

因此有两个问题，如何确定CPs（碰撞发生的位置）以及如何调整圆圈从该点向前的运动。第一部分有一个相当简单的解决方案（考虑到不同的半径和速度分量），但第二部分取决于是否模拟了弹性或非弹性响应。您在评论中写道：

碰撞将被建模为弹性碰撞。惯性交换的数学 已经到位。问题是如何定位这些圆

考虑到我将只讨论第一个问题，解决碰撞发生的确切位置。假设两个圆都匀速运动，只需知道碰撞发生的确切时间，即圆中心之间的距离何时等于其半径之和即可

匀速运动时，可以将一个圆（红色）的速度减去另一个圆（绿色）的速度，将其视为静止。实际上，我们把第一个圆的中心当作固定的，而只考虑第二个圆是在（匀速）运动中。

现在，通过解一个二次方程，可以得到碰撞的精确时间。设V=（GVx-RVx，GVy-RVy）是圆的相对运动，设P=（GIPx-RIPx，GIPy-RIPy）它们在碰撞前“瞬间”的相对位置。我们通过定义以下内容为相对位置P的线性路径“设置动画”：

p（t）=p+t*V

并询问该直线何时与半径Rr+Gr原点周围的圆相交，或何时相交：

（Px+t*Vx）^2+（Py+t*Vy）^2=（Rr+Gr）^2

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这是一个未知时间t内的二次方程，所有其他涉及的量都已知。在这种情况下（碰撞发生在位置CP处或之前），将存在正实解（通常是两个解，一个在CP之前，一个在CP之后，但可能是掠射接触，产生“双根”）。您想要的解决方案（根）t是较早的解决方案，其中t（在“瞬间”RIP，GIP位置为零）较小。

在给定初始位置和速度向量的情况下，您实际上可以导出到达碰撞所需时间的表达式

将对象A和B分别称为位置向量A和B以及速度向量u和v。假设A以每时间步u单位的速率移动（因此，在时间=t时，A在A；在时间=t+1时，A在A+u）

我不确定你是否想看推导；看起来就不那么好了。。。我对乳胶的了解非常有限。（如果您确实希望我这样做，我可以稍后在中进行编辑）。但现在，我得到的是，使用通用的C#ish语法，向量2类型声明为Vector2（X，Y），具有向量加法、标量乘法、点积和长度函数

double timeToCollision(Vector2 a, Vector2 b, Vector2 u, Vector2 v)
{
    // w is the vector connecting their centers;
    // z is normal to w and equal in length.
    Vector2 w = b - a;
    Vector2 z = new Vector2(-1 * w.Y, w.X);
    Vector2 s = u - v;
    // Dot() represents the dot product.
    double m = Dot(z, s) / Dot(w, s);

    double t = w.Length() / Dot(w, s) * 
              (w.Length() - sqrt( ((2 * r) ^ 2) * (1 + m ^ 2) - (m * w.Length()) ^ 2) ) / 
              (1 + m * m)

    return t;
}

至于对碰撞的反应：如果你能快速前进到碰撞点，你就不必担心如何处理相交的圆

如果您感兴趣，当不会发生碰撞时，此表达式会给出一些很酷的结果。如果两个物体彼此远离，但是如果它们的速度相反，它们会发生碰撞，那么t的值为负值。如果对象位于不平行但永远不会相交的路径上（彼此通过），则在平方根内将得到负值。抛开平方根项，你会得到它们彼此最接近的时间。如果它们以相同的速度平行移动，分母为零，t为一个未定义的值

好吧，希望这是有帮助的！我碰巧和你有同样的问题，决定看看我是否能在纸上解决

编辑：我以前应该更仔细地阅读前面的回答

a = V*V
b = 2 P*V
c = P*P - r^2
t = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)