Math 利用未知固定点的给定距离进行三维三边测量

我是这个论坛的新成员，不是以英语为母语的人，所以请友好一些！：）

以下是我目前面临的挑战： 我想根据两个点之间的一组给定距离，计算三维欧几里德空间中未知点的（近似）相对坐标。 在我的第一种方法中，我想忽略可能的多个解决方案，只是随机选择第一个解决方案。

e、 g: 给定一组距离：（我认为这是创建一个以直角三角形为基础的金字塔）

P1-P2-距离

• 1-2-30
• 2-3-40
• 1-3-50
• 1-4-60
• 2-4-60
• 3-4-60

步骤1: 现在，如何计算这些点的相对坐标？
我计算出第一个点是0,0,0，所以第二个点是30,0,0。
之后，可通过查找点1和2的两个圆与点3的距离（分别为50和40）的交点来计算第三个点。我如何从数学上做到这一点？（尽管我把这些简单的数字当作我脑海中情况的简单表示）。此外，我不知道如何用正确的数学方法得出答案，第三点是30,40,0（或30,0,40，但我将忽略它）。
但获得第四分并不像那样容易。我想我必须使用3个球体来计算交叉点，但是我该怎么做呢

第二步： 在我弄明白如何计算这个“简单”的例子后，我想使用更多的未知点。。。对于每个点，到另一点的最小给定距离为1，以将其“链接”到其他点。如果因为坐标的自由度而不能计算坐标，我想忽略所有的可能性，除了我随机选择的一个，但是关于已知的距离

第三步： 现在，最后一个阶段应该是这样的：由于现实生活中的情况，每个测量的距离都有点不正确。因此，如果给定的一对点的距离超过1，则平均距离。但由于距离不精确，在确定点的精确（相对）位置时可能会有困难。所以我想把不同的可能位置平均到“最佳”位置

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你能帮我一步一步地完成我的挑战吗

你需要使用三角学——特别是“余弦规则”。这将给你三角形的角度，让你解决第三和第四点

规则规定

c^2 = a^2 + b^2 - 2abCosC

式中，a、b和c是边的长度，c是对边c的角度

在你的例子中，我们需要1-2和1-3之间的角度-在（0,0,0）处相交的两条线之间的角度。它将是90度，因为你有3-4-5三角形，但让我们证明：

50^2 = 30^2 + 40^2 - 2*30*40*CosC
CosC = 0
C = 90 degrees

这是直线（0,0,0）-（30,0,0）和（0,0,0）-点3之间的角度；沿着这条线延伸1-3边的长度（50），你会得到第二个点（0,50,0）

找到你的第四点稍微有点困难。我能想到的最简单的算法是首先找到点的（x，y）分量，然后使用毕达哥拉斯的方法直接得到z分量

假设（x，y，0）平面上有一个点直接位于点4的“下方”——称之为点5。现在可以创建3个直角三角形1-5-4、2-5-4和3-5-4

你知道1-4，2-4和3-4的长度。因为它们是直角三角形，所以比率

1-4:2-4:3-4

等于

1-5:2-5:3-5

。使用三角法找到点5，“正弦规则”将给出1-2和1-4、2-1和2-4之间的角度等

“正弦规则”规定（在直角三角形中）

对于三角形1-2-4，虽然你不知道长度1-4和2-4，但你知道比率

1-4:2-4

。同样，您知道其他三角形中的比率

2-4:3-4

和

1-4:3-4

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我让你来解决第四点。一旦你有了这一点，你可以很容易地用毕达哥拉斯解出4的z分量，你将得到边1-4，1-5，长度4-5将是z分量。

如果你知道节点之间的距离（系统的固定部分）和到标签的距离（移动的），你可以使用三边测量来找到x，y位置

我使用具有测距功能的纳米电子无线电模块完成了这项工作

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关于

我首先假设您知道所有点对之间的距离

正如您所说，您可以选择一个点（

A

）作为原点，沿x轴定位第二个点（

B

），并沿xy平面放置第三个点（

C

）。可以按如下方式求解C的坐标：

given: distances ab, ac, bc
assume
A = (0,0)
B = (ab,0)
C = (x,y)  <- solve for x and y, where:
  ac^2 = (A-C)^2 = (0-x)^2 + (0-y)^2 = x^2 + y^2
  bc^2 = (B-C)^2 = (ab-x)^2 + (0-y)^2 = ab^2 - 2*ab*x + x^2 + y^2

-> bc^2 - ac^2 = ab^2 - 2*ab*x
-> x = (ab^2 + ac^2 - bc^2)/2*ab
-> y = +/- sqrt(ac^2 - x^2)

给定：距离ab、ac、bc
假定
A=（0,0）
B=（ab，0）
C=（x，y）bc^2-ac^2=ab^2-2*ab*x
->x=（ab^2+ac^2-bc^2）/2*ab
->y=+/-sqrt（ac^2-x^2）

要使其准确工作，您需要避免点

{A，B，C}

在直线上或接近直线的情况

在3-空间中求解附加点类似——您可以扩展距离的毕达哥拉斯公式，取消二次元素，并求解得到的线性系统。但是，这并不能直接帮助您完成步骤2和步骤3

不幸的是，对于步骤2和步骤3，我也不知道一个性能良好的精确解。您的总体问题通常是过度约束（由于相互冲突的嘈杂距离）和欠约束（由于缺少距离）

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您可以尝试使用迭代解算器：从随机放置所有点开始，将当前距离与给定距离进行比较，然后使用该距离调整点，以改进匹配。这是一种优化技术，所以我会查阅有关数值优化的书籍。

你有所有点对之间的距离吗？

given: distances ab, ac, bc
assume
A = (0,0)
B = (ab,0)
C = (x,y)  <- solve for x and y, where:
  ac^2 = (A-C)^2 = (0-x)^2 + (0-y)^2 = x^2 + y^2
  bc^2 = (B-C)^2 = (ab-x)^2 + (0-y)^2 = ab^2 - 2*ab*x + x^2 + y^2

-> bc^2 - ac^2 = ab^2 - 2*ab*x
-> x = (ab^2 + ac^2 - bc^2)/2*ab
-> y = +/- sqrt(ac^2 - x^2)