Math 访谈：使用random2实现random3功能

在最近的采访中，我被问到以下问题。有一个函数

random2（）

，它以相等的概率（0.5）返回0或1。使用

random2（）

编写

random4（）

和

random3（）

的实现。 像这样实现

random4（）

很容易

if(random2())
  return random2();
return random2() + 2;

但是我在

random3（）

方面遇到了困难。我唯一能代表的认识是：

uint32_t sum = 0;
for (uint32_t i = 0; i != N; ++i)
  sum += random2();
return sum % 3;

---

random4（）

的这个实现仅仅基于我的直觉。我不确定它实际上是否正确，因为我无法从数学上证明它的正确性。谁能帮我解答这个问题。

random 3:

不确定这是否是最有效的方法，但我的看法是：

x=random2+2*random2

可能发生的情况：

0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3

以上是所有可能发生的事情的可能性，因此每个都有相同的概率，所以

（

p（x=c）

是x=c的概率）

现在，当x=3时，我们继续生成另一个数，从而使0，1，2的概率相等。更严格地说，你可以将x=3的概率分布到所有这些概率中，这样p（x=3）趋于0，因此其他概率将趋于0.33

代码：

random4:

让我们浏览一下您的代码：

if(random2())
  return random2();
return random2() + 2;

第一次调用有50%的概率为1（true）=>返回0或1，概率为50%*50%，因此每个返回25%

第一次调用有50%的几率为0（false）=>以50%*50%的概率返回2或3，因此每个返回25%

因此，您的代码以相同的概率生成0,1,2,3

受E4F4答案启发的更新：

对于一个比我上面提供的更确定的答案

通过多次调用

random2

生成一些大数字，并根据所需数字修改结果

这对每一个都不是完全正确的概率，但会很接近

因此，对于通过调用

random2

32次得到的32位整数，target=3：

总数：4294967296
x的数量，使得x%3=1或2:1431655765
x的数量，使得x%3=0:1431655766
1或2的概率（每个）：0.33333325572311878204345703125
0的概率：0.3333334885537624359130859375

所以在0.00000002%的正确概率内，看起来非常接近

代码：

sum=0；
对于（int i=0；i<32；i++）
sum=2*sum+random2（）；
返回和%N；

注意：

正如pjr所指出的，一般来说，这种方法的效率远远低于上述的拒绝方法。使用拒绝方法获得相同数量的

random2

（即32次）（假设这是最慢的操作）调用的概率为

0.25^（32/2）=0.0000000002=0.00000002%

。再加上这种方法不精确的事实，让我们更倾向于拒绝方法。降低这个数字会减少运行时间，但会增加错误，并且可能需要将其降低很多（从而达到高错误），以接近拒绝方法的平均运行时间

值得注意的是，上述算法有一个最长的运行时间。拒绝方法不适用。如果您的随机数生成器因某种原因完全损坏，它可能会继续生成被拒绝的数字，并使用拒绝方法运行相当长一段时间或永远，但无论发生什么情况，上面的for循环都将运行32次。

不建议使用模（

%

）因为它会引入偏差。只有当

n

是

2

的幂时，映射才会很好。否则，如其他答案所示，会涉及某种拒绝

另一种通用方法是通过以下方式模拟内置PRNG——

• 生成32

  random2（）

  并将其映射到32位整数
• 用最大整数值除以范围

  （0,1）

  中的随机数
• 只需将该数字乘以

  n

  （=3,4…73等等）和

  floor

  ，即可获得所需的输出

---

对于我们中间的dim，什么是

random4（）

和

random3（）

应该返回？在

For

循环中

N

是什么？@HighPerformanceMark我猜

randomN（）

应该返回

0,1,2，。。。，N-1

的概率相等。@杜克林：是的，你是对的。@高性能标记生成32位随机数的非常有趣的解决方案。我喜欢，谢谢。拒绝比打32次随机电话要有效得多。在每次迭代中，您有3/4的停止概率和1/4的拒绝和循环概率。从长远来看，您将在平均4/3次迭代后终止，并需要8/3次调用random2，加上结果的准确概率将是1/3，而不是近似概率。@pjs有用的注释。已编辑。@Dukeling拒绝方法的长期运行时间意味着random2不符合其规范p（0）=p（1）=1/2。你是对的，32呼叫版本是有界的，但我愿意冒2E-10的机会，超过单个呼叫的界限。如果我们讨论一系列调用，拒绝序列比有界序列长的概率很快接近概率范围，即我身体中的所有原子绕过地板上的所有原子，我最终进入地下室。我不会担心的。

do
  val = random2() + 2*random2();
while (val != 3);
return val;

if(random2())
  return random2();
return random2() + 2;

sum = 0;
for (int i = 0; i < 32; i++)
  sum = 2*sum + random2();
return sum % N;