Math 伽罗瓦域中的加法和乘法

我试图在一个非常有限的嵌入式平台上生成二维码。除了生成纠错码字之外，中的所有内容似乎都相当简单。我已经研究了一系列现有的实现，它们都试图实现一系列直接在我脑海中出现的多项式数学，特别是关于伽罗瓦域。在数学复杂性和内存需求方面，我能看到的最直接的方式是在规范中列出的电路概念：

根据他们的描述，我很有信心我可以实现这一点，除了标记为GF（256）加法和GF（256）乘法的部分

他们提供以下帮助：

QR码的多项式算法应使用按位模2算法和按字节计算 模100011101算术运算。这是一个2^8的伽罗瓦域 100011101表示场的素模 多项式x^8+x^4+x^3+x^2+1

这对我来说简直是希腊语

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所以我的问题是：在这种伽罗瓦域算术中，最简单的加法和乘法方法是什么？假设两个输入数字都是8位宽，我的输出也需要8位宽。有几个实现预先计算，或者在两个查找表中硬编码以帮助实现这一点，但我不确定这些是如何计算的，或者在这种情况下我将如何使用它们。我不希望对这两个表使用512字节的内存，但这实际上取决于替代方案。我真的只需要帮助我理解如何在这个电路中做一个乘法和加法运算。

实际上只需要一个表。这就是GP（256）乘法。请注意，所有算术运算都是无进位的，这意味着没有进位传播

不带进位的加法和减法等价于异或运算

因此在GF（256）中，

a+b

和

a-b

都等价于

a或b

GF（256）乘法也是少进位的，并且可以用与少进位加法/减法类似的方式使用少进位乘法来实现。这可以通过硬件支持（例如）高效地完成

然而，最困难的部分是降低模

100011101

。在普通整数除法中，可以使用一系列比较/减法步骤来完成。在GF（256）中，您使用一系列比较/异或步骤以几乎相同的方式进行操作

事实上，如果只是预先计算所有256 x 256的乘法并将它们放入65536个条目的查找表中，速度会更快，这已经够糟糕的了

以下pdf的第3页对GF256算法有很好的参考：

（我正在跟进第一个答案中指向zxing的指针，因为我是作者。）

关于加法的答案完全正确；这就是为什么在这个领域工作在计算机上很方便

看

是的，乘法有效，适用于GF256。a*b实际上与exp（log（a）+log（b）相同。因为GF256只有256个元素，所以只有255个“x”的唯一幂，log也是如此。因此，很容易将它们放入查找表中。表格将在256处“环绕”，因此您会看到“%size”。“/size”在一句话中更难解释——因为实际上是1-255“环绕”，而不是0-255。所以这不仅仅是一个简单的模量

最后一部分可能是如何将模化为不可约多项式。不可约多项式是x^8加上一些低次项，对吧——称它为I（x）=x^8+R（x）。根据定义，多项式在域中与0全等；I（x）==0。所以x^8==-R（x）。方便地说，加法和减法是相同的，因此x^8==-R（x）==R（x）

我们唯一需要减少高次多项式的时间是在构造指数表时。你只需要一直乘以x（这是一个左移），直到它变得太大——得到一个x^8项。但是x^8与R（x）相同。所以你去掉x^8，加上R（x）。R（x）只有x^7的幂，所以它仍然在一个字节中，都在GF（256）中。你知道如何在这个字段中添加

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帮助？

减少xor的加法非常好。当我使用65k查找表时，它是不可能的，它实际上非常类似于移位-加法二进制乘法算法。除了用XOR替换所有加法。100011101什么时候开始工作？此外，为什么当每个字节只有8个时会有9位呢？当你做模运算时会有9位。额外的位是隐式的。（虽然已经有一段时间了，所以我不知道该如何解释）我会看看我是否能在zxing源代码中找到我的示例代码：他们使用这个公式进行乘法：int logSum=logTable[a]+logTable[b]；返回expTable[（logSum%size）+logSum/size]；这是否足够？它需要两个表，但这可能是可以接受的。所以，如果我读得正确，简单地使用带有换行符和加法的字节是不够的？Div和mod是相当昂贵的操作，所以只有添加才是最好的。如果需要的话，我可以实现封装254->255->1->2的字节加法+1实际上，我在获取电路概念的参考实现时遇到了问题，甚至使用zxing代码进行GF加法和乘法。也许我会在zxing论坛上发布详细信息。如果您知道字段大小是256，那么

/

和

%

操作实际上只是

>8和
&0xFF
。我想你可以再优化一下。但是，在QR码解码过程中，Reed-Solomon纠错过程是一个非常小的部分。如果这是你的瓶颈，我会很惊讶。