Math 如何计算矩形网格中的矩形数？

我想计算一个矩形中的矩形数，可以用公式计算

（x^2+x）（y^2+y）/4

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但是它也包括像1*1,2*2,3*3这样的完美正方形。我不想在我的计算中包括它。我怎么做呢？

好的，你有点之间整数坐标的矩形的数量

（0，0）

，

（x，0）

，

（x，y）

和

（0，y）

，

x

和

y

也是整数。现在需要从这个和中删除完美的平方

为了计算它，让我们计算平方数

1*1

：显然有

x*y

。对于正方形

2*2

，由于该正方形的宽度，我们有

x-1

的x坐标选择和

y-1

的y坐标选择，这导致

（x-1）*（y-1）

正方形。同样，我们将有

（x-2）*（y-2）

正方形

3*3

，等等

因此，对于给定的

i

，我们有

（x-i+1）*（y-i+1）

平方

i*i

，

i

从

1

到

x

和

y

（当然，如果

x

是4而

y

是7，我们不能有一个边大于4的平方）

因此，如果

m=min（x，y）

，我们有：

Sum_Squares = Sum(i = 1, i = m, (x - i + 1) * (y - i + 1))
            = Sum(j = 0, j = m - 1, (x - i) * (y - i))
            = Sum(j = 0, j = m - 1, x*y - (x+y)*j + j^2)
            = m*x*y - (x+y)*Sum(j = 0, j = m - 1, j) + Sum(j = 0, j = m - 1, j^2)
            = m*x*y - (x+y)*Sum(j = 1, j = m - 1, j) + Sum(j = 1, j = m - 1, j^2)
            = m*x*y - (x+y)*m*(m-1)/2 + (m-1)*m*(2*m-1)/6

我通过索引更改（

j=I-1

）和众所周知的公式得出：

Sum(i = 1, i = n, j) = n*(n + 1)/2
Sum(i = 1, i = n, j^2) = n*(n + 1)*(2*n + 1)/6

您只需从

（x^2+x）（y^2+y）/4

中删除此

平方和即可