Math 如何找到平行六面体的4d模拟物的超体积？

首先，是否存在上述类似物

其次，在给定4个边向量的情况下，如何找到其4d体积/超体积，理想情况下使用点、叉积等

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第三，与表面积的3D模拟是什么？例如，1D弧长、2D表面积、3D体积、4D-？

您所描述的是使用行列式进行概括的

nD空间中嵌入的nD对象

对于使用所有尺寸的对象，例如2D中的平行四边形或3D中的平行六面体，将定义（超）平行六面体边的

n

向量作为矩阵行，并计算行列式：

2D       3D          4D             5D
|x1 y1|  |x1 y1 z1|  |x1 y1 z1 w1|  (Repeat the same pattern)
|x1 y2|  |x2 y2 z2|  |x2 y2 z2 w2|
         |x3 y3 z3|  |x3 y3 z3 w3|
                     |x4 y4 z4 w4|

请注意，获得的（超）体积是有符号的，这取决于向量的方向。因此，可能存在负体积

（n-1）嵌入nD空间的D对象

对于使用一维小于其所在空间的对象，例如，三维空间中的平行四边形，可以使用叉积（源自行列式）或叉积的泛化。例如，由两个3D矢量

（x1，y1，z1）

和

（x2，y2，z2）

定义的嵌入3D中的平行四边形的面积通过包含两个矢量作为行的矩阵计算：

[x1 y1 z1]
[x2 y2 z2]

从这个矩阵，只需创建2x2子矩阵的所有组合，计算每个矩阵的行列式，并将它们放在向量中

[|y1 z1|, |z1 x1|, |x1 y1|] = (y1*z2-z1*y1, z1*x2-x1*z2, x1*y2-y1*x2)
[|y2 z2|  |z2 x2|  |x2 y2|]

获得一个向量，该向量的长度是平行四边形的面积：

sqrt（（y1*z2-z1*y1）^2+（z1*x2-x1*z2）^2+（x1*y2-y1*x2）^2）

最终的（几乎）概括

从最后一个示例中，我们可以创建一个通用配方，适用于嵌入任何维度的任何对象（是的，您可以计算嵌入17D空间的三维平行六面体的体积）：

将描述对象的所有向量放在（可能是非正方形）矩阵的行中

列举所有可能的方子矩阵组合

计算所有这些子矩阵的行列式，并将它们放在一个列表中（如果只需要体积，则顺序并不重要）

将这些行列式分别平方

把它们加起来

取结果的平方根 请注意，最后一个配方给出了未签名的卷，因为您先平方，然后取平方根

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最后一点：显然，这个答案更多的是一个配方，而不是解释为什么所有这些计算都有效。有关此主题的更多信息，我建议您深入研究，这是一种形式主义，它使用楔形积（叉积的推广）以非常一般的方式定义这些超体积。

请参阅叉积计算（其已实现）正如答案所示，超体积只是超平行四边形所有基向量的叉积结果的大小。这可能也会让你感兴趣：这是一个好问题，并且已经给出了完整的答案，但是为了记录在案，这个问题实际上更适合math.stackexchange.com。