Fatal编程技术网
  • math/
  • Math 如何在高维超球面上均匀分布点？

Math 如何在高维超球面上均匀分布点？

math geometry

Math 如何在高维超球面上均匀分布点？,math,geometry,pseudocode,n-dimensional,Math,Geometry,Pseudocode,N Dimensional,我感兴趣的是在3维或更高维的球体表面上均匀分布N个点 更具体地说： 给定点数N和维数D（其中D>1，N>1） 每个点到原点的距离必须为1 任意两点之间的最小距离应尽可能大 每个点到最近邻点的距离不一定必须对每个点都相同（事实上，它不可能是相同的，除非点的数量形成柏拉图式实体的顶点，或者如果N作为部分答案，你可以用来计算f的逆。在牛顿迭代中使用x作为初始点是一个不错的选择，因为f（x）与x的距离永远不会超过1个单位。下面是一个Python实现： import math def f(x):

我感兴趣的是在3维或更高维的球体表面上均匀分布N个点

更具体地说：

  • 给定点数N和维数D（其中D>1，N>1）
  • 每个点到原点的距离必须为1
  • 任意两点之间的最小距离应尽可能大
  • 每个点到最近邻点的距离不一定必须对每个点都相同（事实上，它不可能是相同的，除非点的数量形成柏拉图式实体的顶点，或者如果N作为部分答案，你可以用来计算f的逆。在牛顿迭代中使用
    x
    作为初始点是一个不错的选择，因为
    f（x）
    与
    x
    的距离永远不会超过1个单位。下面是一个Python实现：

    import math

def f(x):
    return x + 0.5*math.sin(2*x)

def f_inv(x,tol = 1e-8):
    xn = x
    y = f(xn)
    while abs(y-x) > tol:
        xn -= (y-x)/(1+math.cos(2*xn))
        y = f(xn)
    return xn
    关于牛顿方法的这个应用，一个很好的事实是，每当
    cos（2*x）=-1
    （如果你要除以0），你就会自动得到
    sin（2*x）=0
    ，因此
    f（x）=x
    。在这种情况下，不会输入while循环，并且
    f_inv
    只返回原始的x。

    我们有n个点，它们是P1，…，Pn。我们有一个维度号d。每个（i=1，n）点可以表示为：

    π=（π（x1），…，π（xd））

    我们知道

    D（Pi，0）=1

    sqrt（（pi（x1）-pj（x1））^2+…+（pi（xd）-pj（xd））^2）=1

    任意点之间的最小距离，MD是

    无限大
  • 每边的长度相似
因此，一个有n个角的多边形，其中n是一个有限的数，大于2，并且，每边的长度相似，每次我们增加n时，它更接近一个圆。注意，d=2中的第一个多边形是三角形。我们有一个角，最小角度单位是360度/n

现在，如果我们有一个正方形，并且在其上均匀分布点，那么将正方形转换成圆通孔应该是精确解，或者非常接近它。如果它是精确解，那么对于d=2的情况，这是一个简单的解。如果它非常接近，那么通过近似的方法，我们可以确定溶胶是什么计算精度在您选择的给定精度范围内

我会在d=3的情况下使用这个想法。我会解决立方体的问题，这个问题要简单得多，使用基变换将立方体点转换为球体点。我会在d>3的情况下使用这个方法，解决超立方体的问题并将其转换为超球体。当你y将点分布在d维的超立方体上

请注意，我不知道转化为超球体的超立方体的解是精确解还是接近精确解，但是如果它不是精确解，那么我们可以通过近似提高精度

因此，这种方法是问题的解决方案，就时间复杂度而言，它不一定是最好的方法，因此，如果一个人深入研究了斐波那契晶格区域，并且知道如何将其推广到更多维度，那么他/她的答案可能比我的答案更好

如果定义f（x）的倒数，可以确定f（x）=x的倒数-0.5sin2x。你会得到x的多项式序列。

非常有趣的问题。我想把它实现为，因为我很好奇它看起来会是什么样子，但我太懒了，不能从数学方面处理ND超越的问题

相反，我对这个问题提出了不同的解决方案。它不是一个斐波那契关系！！！相反，我将a的参数方程展开为超螺旋，然后只拟合螺旋参数，使点的距离大致相等

我知道这听起来很可怕，但它并没有那么难，在解决了一些愚蠢的打字错误（复制/粘贴错误）后，结果对我来说是正确的（最后：）

其主要思想是使用超球体的n维参数方程从角度和半径计算其表面点。此处实现：

import math

def f(x):
    return x + 0.5*math.sin(2*x)

def f_inv(x,tol = 1e-8):
    xn = x
    y = f(xn)
    while abs(y-x) > tol:
        xn -= (y-x)/(1+math.cos(2*xn))
        y = f(xn)
    return xn
请参阅[edit2]。现在问题归结为两个主要问题：

  • 计算螺钉数量

    因此，如果我们希望我们的点是等距的，那么它们必须等距离地位于螺旋路径上（见bullet#2），而且螺钉本身之间的距离应该相同。为此，我们可以利用超球体的几何特性。让我们从2D开始：

    因此，只需
    screws=r/d
    。点数也可以推断为
    points=area/d^2=PI*r^2/d^2

    因此，我们可以简单地将2D螺旋线写成：

    t = <0.0,1.0>
a = 2.0*M_PI*screws*t;
x = r*t*cos(a);
y = r*t*sin(a);
    3D:

    screws=1.0/d;          // radius/d
points=M_PI/(d*d);     // surface_area/d^2
a = 2.0*M_PI*t*screws;
x = t*cos(a);
y = t*sin(a);

    screws=M_PI/d;         // half_circumference/d
points=4.0*M_PI/(d*d); // surface_area/d^2
a=    M_PI*t;
b=2.0*M_PI*t*screws;
x=cos(a)       ;
y=sin(a)*cos(b);
z=sin(a)*sin(b);

    screws = M_PI/d;
points = 3.0*M_PI*M_PI*M_PI/(4.0*d*d*d);
a=    M_PI*t;
b=    M_PI*t*screws;
c=2.0*M_PI*t*screws*screws;
x=cos(a)              ;
y=sin(a)*cos(b)       ;
z=sin(a)*sin(b)*cos(c);
w=sin(a)*sin(b)*sin(c);
    4D:

    screws=1.0/d;          // radius/d
points=M_PI/(d*d);     // surface_area/d^2
a = 2.0*M_PI*t*screws;
x = t*cos(a);
y = t*sin(a);

    screws=M_PI/d;         // half_circumference/d
points=4.0*M_PI/(d*d); // surface_area/d^2
a=    M_PI*t;
b=2.0*M_PI*t*screws;
x=cos(a)       ;
y=sin(a)*cos(b);
z=sin(a)*sin(b);

    screws = M_PI/d;
points = 3.0*M_PI*M_PI*M_PI/(4.0*d*d*d);
a=    M_PI*t;
b=    M_PI*t*screws;
c=2.0*M_PI*t*screws*screws;
x=cos(a)              ;
y=sin(a)*cos(b)       ;
z=sin(a)*sin(b)*cos(c);
w=sin(a)*sin(b)*sin(c);
    现在注意4D的点只是我的假设。我根据经验发现它们与
    常量/d^3
    有关，但并不完全相同。每个角度的螺钉都不同。我的假设是除了
    螺钉^I
    之外没有其他比例，但它可能需要一些常量调整（未对生成的点云进行分析，因为我认为结果正常）

    现在我们可以从单个参数
    t=
    生成螺旋上的任意点

    请注意，如果您颠倒方程式，那么
    d=f（点）
    您可以将点作为输入值，但请注意，它只是近似的点数，并不精确

  • 在螺旋上生成阶跃，使点等距

    这是我跳过代数混乱而使用拟合的部分。我只需对delta
    t
    进行二元搜索，结果点距离上一点
    d
    较远。只需生成点
    t=0
    ，然后在估计位置附近进行二元搜索，直到距离起点
    d
    较远。然后重复直到