基于matlab的圆盘形区域有限差分Poisson-PDE求解器

在我的研究中，我必须使用有限差分法为圆盘形区域上的泊松方程编写一个PDE解算器。
我已经通过了实验。我的代码中有一个问题我无法修复。函数

fun1

与边值问题

gun2

在边界处不知何故振荡。当我使用

fun2

时，一切似乎都很好

这两个函数都在边界处使用

gun2

。有什么问题

函数z=fun1（x，y） r=sqrt（x.^2+y.^2）； z=零（尺寸（x））； 如果（r<0.25） z=-10^8*exp（1./（r.^2-1/16））； 结束 结束 函数z=fun2（x，y） z=100*sin（2*pi*x）。*sin（2*pi*y）； 结束 函数z=gun2（x，y） z=x.^2+y.^2； 结束 函数[u，A]=poisson2（funame，guname，M） 如果nargin<3 M=50； 结束 %网格生成 h=2/（M+1）； x=-1:h:1； y=-1:h:1； [X，Y]=网格网格（X，Y）； CI=（（X.^2+Y.^2）<1）； %边界元 总和=零（大小（CI））； %超过邻居的总数 对于i=-1:1 Sum=Sum+circshift（CI[i，0]）+circshift（CI[0，i]）； 结束 %如果邻居的总和大于3->内部注释！ CI=（总和>3）； %埃尔斯边界 CB=（和<3&和=0）； 总和=零（大小（CI））； %边界上相邻节点的求和。。。。 对于i=-1:1 Sum=Sum+circshift（CB[i，0]）+circshift（CB[0，i]）； 结束 %如果总和等于2->对角线边界 CB=CB+（总和=2&CB=0&CI=0）； %将X-Y坐标转换为极坐标 Phi=atan（Y./X）； %仅在边界处将φR转换回笛卡尔坐标 对于j=1:M+2 对于i=1:M+2 if（CB（i，j）~=0） 如果j>（M+2）/2 sig=1； 其他的 sig=-1； 结束 X（i，j）=sig*1*cos（Phi（i，j））； Y（i，j）=sig*1*sin（Phi（i，j））； 结束 结束 结束 %对内部注释u1、u2、…、un进行编号 CI=CI.*重塑（总和（CI（：）），大小（CI））； %内部票据数量 Ni=nnz（CI）； f=零（Ni，1）； k=1； A=石碳酸钙（镍，镍，5*镍）； %创建matix A！ 对于j=2:M+1 对于i=2:M+1 if（CI（i，j）~=0） hN=h；hS=h；hW=h；hE=h； f（k）=fun（X（i，j），Y（i，j））； if（CB（i+1，j）~=0） hN=abs（1-sqrt（X（i，j）^2+Y（i，j）^2））； f（k）=f（k）+枪（X（i，j），Y（i+1，j））*2/（hN^2+hN*h）； A（k，CI（i-1，j））=-2/（h^2+h*hN）； 其他的 如果负y中的（CB（i-1，j）~=0）% hS=abs（1-sqrt（X（i，j）^2+Y（i，j）^2））； f（k）=f（k）+枪（X（i，j），Y（i-1，j））*2/（hS^2+h*hS）； A（k，CI（i+1，j））=-2/（h^2+h*hS）； 其他的 A（k，CI（i-1，j））=-1/h^2； A（k，CI（i+1，j））=-1/h^2； 结束 结束 if（CB（i，j+1）~=0） hE=abs（1-sqrt（X（i，j）^2+Y（i，j）^2））； f（k）=f（k）+枪（X（i，j+1），Y（i，j））*2/（hE^2+hE*h）； A（k，CI（i，j-1））=-2/（h^2+h*hE）； 其他的 if（CB（i，j-1）~=0） hW=abs（1-sqrt（X（i，j）^2+Y（i，j）^2））； f（k）=f（k）+枪（X（i，j-1），Y（i，j））*2/（hW^2+h*hW）； A（k，CI（i，j+1））=-2/（h^2+h*hW）； 其他的 A（k，CI（i，j-1））=-1/h^2； A（k，CI（i，j+1））=-1/h^2； 结束 结束 A（k，k）=（2/（hE*hW）+2/（hN*hS））； k=k+1； 结束 结束 结束 %求解线性系统 u=A\f； U=零（M+2，M+2）； p=1； %阿兰格酒店 对于j=1:M+2 对于i=1:M+2 if（CI（i，j）~=0） U（i，j）=U（p）； p=p+1； 其他的 if（CB（i，j）~=0） U（i，j）=枪（X（i，j），Y（i，j））； 其他的 U（i，j）=NaN； 结束 结束 结束 结束 冲浪（X，Y，U）； 结束 我暂时将此答案保持简短，但当问题包含更多信息时，可能会延长答案

我的第一个猜测是，你们看到的只是数字误差。从两个图的比例来看，第一个图中的峰值与第二个图中的信号相比相对较小。也许在第二种情况下也有类似的问题，只是因为信号大得多而看不见。您可以尝试增加节点数并观察结果

您应该总是期望在此类模拟中看到数值错误。这只是一个问题，试图让他们的规模尽可能小（或尽可能小的需要）。

我现在保持这个答案简短，但可能会延长当问题包含更多的信息

我的第一个猜测是，你们看到的只是数字误差。从两个图的比例来看，第一个图中的峰值与第二个图中的信号相比相对较小。也许在第二种情况下也有类似的问题，只是因为信号大得多而看不见。您可以尝试增加节点数并观察结果

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您应该总是期望在此类模拟中看到数值错误。这只是一个尽可能小（或尽可能小）的问题。

与其在问题中加入一堆代码，不如对你要解决的问题给出一个高层次的解释（当然要定义泊松方程中使用的符号），以及解决过程的概述？您能否对您正在解决的问题（当然是定义您在泊松方程中使用的符号）进行高层次的解释，并概述解决过程，而不是在您的问题中添加一堆代码？

function z = fun1(x,y)
    r = sqrt(x.^2+y.^2);
    z = zeros(size(x));
    if( r < 0.25)
        z = -10^8*exp(1./(r.^2-1/16)); 
    end   
end 

function z = fun2(x,y)
    z = 100*sin(2*pi*x).*sin(2*pi*y);
end

function z = gun2(x,y)
   z = x.^2+y.^2;
end

function [u,A] = poisson2(funame,guname,M)

if nargin < 3
    M = 50;
end


%Mesh Grid Generation
h = 2/(M + 1);
x = -1:h:1;
y = -1:h:1;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

CI = ((X.^2 +Y.^2) < 1);

%Boundary Elements
Sum= zeros(size(CI));

%Sum over the neighbours
for i = -1:1
    Sum = Sum + circshift(CI,[i,0]) + circshift(CI,[0,i]) ;
end

%if sum of neighbours larger 3 -> inner note!
CI = (Sum > 3);
%else boundary
CB = (Sum < 3 & Sum ~= 0);

Sum= zeros(size(CI));

%Sum over the boundary neighbour nodes....
for i = -1:1
   Sum = Sum + circshift(CB,[i,0]) + circshift(CB,[0,i]);
end

%If the sum is equal 2 -> Diagonal boundary
CB = CB + (Sum == 2 & CB == 0 & CI == 0);

%Converting X Y to polar coordinates
Phi = atan(Y./X);

%Converting Phi R back to cartesian coordinates, only at the boundarys
for j = 1:M+2
    for i = 1:M+2
        if (CB(i,j)~=0)
            if j > (M+2)/2
                sig = 1;
            else
                sig = -1;
            end
            X(i,j) = sig*1*cos(Phi(i,j));
            Y(i,j) = sig*1*sin(Phi(i,j));
        end
    end
end




 %Numberize the internal notes u1,u2,......,un

 CI = CI.*reshape(cumsum(CI(:)),size(CI));

 %Number of internal notes

 Ni = nnz(CI);


 f = zeros(Ni,1);

 k = 1;

 A = spalloc(Ni,Ni,5*Ni);



 %Create matix A!
 for j=2:M+1
    for i =2:M+1
        if(CI(i,j) ~= 0)
            hN = h;hS = h; hW = h; hE = h;

            f(k) = fun(X(i,j),Y(i,j));                                    
            if(CB(i+1,j) ~= 0)                                          
                hN = abs(1-sqrt(X(i,j)^2+Y(i,j)^2));
                f(k) = f(k) + gun(X(i,j),Y(i+1,j))*2/(hN^2+hN*h);
                A(k,CI(i-1,j)) = -2/(h^2+h*hN);
            else

                if(CB(i-1,j) ~= 0)  %in negative y is a boundry
                    hS = abs(1-sqrt(X(i,j)^2+Y(i,j)^2));
                    f(k) = f(k) + gun(X(i,j),Y(i-1,j))*2/(hS^2+h*hS);
                    A(k,CI(i+1,j)) = -2/(h^2+h*hS);
                else
                    A(k,CI(i-1,j)) = -1/h^2;
                    A(k,CI(i+1,j)) = -1/h^2;
                end
            end

            if(CB(i,j+1) ~= 0)                                          
                 hE = abs(1-sqrt(X(i,j)^2+Y(i,j)^2));
                 f(k) = f(k) + gun(X(i,j+1),Y(i,j))*2/(hE^2+hE*h);
                 A(k,CI(i,j-1)) = -2/(h^2+h*hE);
            else

                if(CB(i,j-1) ~= 0)
                     hW = abs(1-sqrt(X(i,j)^2+Y(i,j)^2));

                     f(k) = f(k) + gun(X(i,j-1),Y(i,j))*2/(hW^2+h*hW);
                     A(k,CI(i,j+1)) = -2/(h^2+h*hW);
                else
                     A(k,CI(i,j-1)) = -1/h^2;
                     A(k,CI(i,j+1)) = -1/h^2;
                end
            end

            A(k,k) = (2/(hE*hW)+2/(hN*hS));

            k = k + 1;
        end
    end
end

%Solve linear system
u = A\f;
U = zeros(M+2,M+2);
p = 1;

%re-arange u
for j = 1:M+2
    for i = 1:M+2
        if ( CI(i,j) ~= 0)
            U(i,j) = u(p);
            p = p+1;
        else
            if ( CB(i,j) ~= 0)
                U(i,j) = gun(X(i,j),Y(i,j));
            else
                U(i,j) = NaN;
            end
        end
    end
end


surf(X,Y,U);

end