MATLAB中求解多个非线性独立方程组的最快方法？

MATLAB有两种方法来求解非线性方程：

• ：解一个非线性方程
• ：解非线性方程组

因此，可以使用以下方法来求解

n

非线性独立方程组：

使用循环分别使用

fzero

使用循环分别使用

fsolve

使用

fsolve

一起解决这些问题

我的直觉是：

• 对于大型

  n

  ，循环方法比单个系统更快，因为复杂度（梯度计算）为0（n^2）
• 对于较小的

  n

  ，循环可能较慢，因为循环在MATLAB中的开销较高，并且可能有一些恒定的启动时间

• fzero

  比

  fsolve

  更快，因为它是专门为单个非线性方程设计的

问题：求解

n

非线性独立方程组的最快方法是什么？还有其他方法吗？应该使用哪些选项来加快流程

示例问题：（可用于对不同答案进行基准测试）

i

介于1和

n之间

相关线程

%---------------
% ns = 10

loopFZero =

    0.0027


indepFSolve =

    0.0049


vecBisection =

   5.0978e-05

%---------------
% ns = 1e5

loopFZero =

   28.7574


indepFSolve =

    7.7601


vecBisection =

    0.0013




评估某种方法性能的最佳方法是编写基准测试。考虑了四种情况：

循环fzero：使用循环分别使用
fzero
loop fsolve：使用循环分别使用
fsolve
默认fsolve：将方程作为一个方程组一起求解
独立fsolve：与默认fsolve相同，但

结果

%---------------
% ns = 10

loopFZero =

    0.0027


indepFSolve =

    0.0049


vecBisection =

   5.0978e-05

%---------------
% ns = 1e5

loopFZero =

   28.7574


indepFSolve =

    7.7601


vecBisection =

    0.0013

所有的图都显示了整个系统在
n
函数中的计算时间，方程的数量

前两个数字绘制的
n
最大值为1000，间隔为100。最后两个数字以1为间隔绘制100。对于每个图，第二个图与第一个图相同，但没有循环fzero，因为它比其他图慢得多


结论

循环fsolve：不要使用它，启动时间太长
循环fzero：您可以将其用于较小的
n
（最快的
n<~20
）中
默认fsolve：您可以将其用于相对较小的
n
（最快的方法是
~20
，但与2和3的差异相对较小）

独立的fsolve：您应该将其用于大型
n
（最快的
~50
方法）

一般情况下，您应该使用独立的fsolve，仅对于较小的
n
循环，可以使用fzero，即使用
fsolve
和以下选项：

options.Algorithm = 'trust-region-reflective';
options.JacobPattern = speye(n);
options.PrecondBandWidth = 0;

懒惰的人可能只会使用默认的fsolve，因为它对中等数量的方程有合理的性能（
n<~200
）

重要评论

Bob指出，a可能要快几个数量级。根据Bob的测试结果，他的方法对于问题的每一个大小，即大小
n
，都是最快的方法

备注

%---------------
% ns = 10

loopFZero =

    0.0027


indepFSolve =

    0.0049


vecBisection =

   5.0978e-05

%---------------
% ns = 1e5

loopFZero =

   28.7574


indepFSolve =

    7.7601


vecBisection =

    0.0013


请注意，默认fsolve的时间复杂度为O（n^2），而其他fsolve的时间复杂度为O（n）
请注意，在某些边界情况下，
fzero
和
fsolve
的行为可能不同，f.e
fzero
在搜索符号更改的位置时，不会找到
x^2
的解决方案
我添加此答案是为了详细说明我的上述评论。根据我的经验，到目前为止，最快的方法是使用文件交换上提供的fzero矢量化版本：

这里有两个基准测试，将其性能与（i）循环fzero和（ii）独立fsolve进行比较

f = @(x) x.^2-1; %the set of non-linear equations
ns = 1e5; %size of the problem

% method 1: looped fzero
t = timeit(@() fzero(f, rand(1)));
loopFZero = t*ns

% method 2: independent fsolve
options=optimset('Display','off'); % disable displaying
options.Algorithm = 'trust-region-reflective';
options.JacobPattern = speye(ns);
options.PrecondBandWidth = 0;
indepFSolve = timeit(@() fsolve(f, rand(ns,1), options))

% method 3: vectorized bisection, available here:
% https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/28150-bisection-method-root-finding
vecBisection = timeit(@() bisection(f, zeros(ns,1), 2))

结果

%---------------
% ns = 10

loopFZero =

    0.0027


indepFSolve =

    0.0049


vecBisection =

   5.0978e-05

%---------------
% ns = 1e5

loopFZero =

   28.7574


indepFSolve =

    7.7601


vecBisection =

    0.0013

在文件交换上有一个矢量化版本的fzero：根据我的经验，它比独立的fsolve（使用“JacoPattern”=speye（n）选项）强一个数量级。请审阅者注意：添加了示例问题，以便能够更好地比较不同的答案。请注意，Bob已经指出了另一种方法，它应该有自己的基准答案。不幸的是，它被mods删除了，所以我不确定是否有人能看到它。我应该重新发布吗？如果其他人看不到我下面的答案，这里有一个总结：使用与另一个答案相同的基准问题，我对
ns=10
的计时是：
0.0027s
通过循环vs
0.0049s
通过indep fsolve vs
5.0978e-05s
通过矢量化代码。对于
ns=1e5
我得到：
28.7574s
通过循环vs
7.7601s
通过indep fsolve vs
0.0013s
通过矢量化代码。@Bob，我同意重新发布答案。一、 OP，看不到你的答案。因此，几乎没有人会这么做。请注意，我在问题中明确添加了示例/基准问题。在这一行动之后，问题被重新打开（因为需要更多关注而关闭）。但是，首选的解决方案可能是标记您的答案以引起适度注意。@mods：这是我以前的答案的重新发布，该答案因不符合社区标准而被删除。我之所以重新发帖，是因为OP明确要求我这么做（见上面对他们问题的评论），而且我仍然相信我的方法比其他答案更有效，希望对其他人有用。@mods：注意，这个问题现在包含一个明确的基准问题，我接受了你的答案，因为这显然是迄今为止最好的方法。我希望它会提前