Matlab 用Newton-Raphson和Gauss-Seidel求解非线性系统

我需要帮助了解如何结合牛顿-拉斐逊和高斯-赛德尔方法在Matlab中求解非线性方程组。这是我的逻辑：

通过求方程的导数将系统线性化，并放入矩阵中。转移系统，使我们有[偏导数矩阵][H]=[原始系统]，其中H是我要求解的。H是步长

首先将对x的初始猜测插入到第一个和最后一个矩阵中，然后每次解H时，我都会将该步长添加到对x的先前猜测中，以创建一个新的x。然后我将插入更新的x，找到另一个h，并继续这个过程

每次迭代在新旧猜测之间都有一个错误。当误差小于公差时，报告值 我以前对牛顿-拉斐逊法和高斯-赛德尔法分别进行过编码。 我的主要困惑来自于如何准确地将两个不同的变量组合在一起。首先，我想知道我的逻辑是否正确，对于这种设置的psedoocode将非常有用

---

我试着编写代码，我相信矩阵是正确的，我认为Gauss-Seidel函数是正确的，但是我对如何正确地更新猜测感到非常困惑。现在，一旦我消除了错误，它就会输出一个0的迭代。我被告知对线性方程做一个[0,0]的猜测，对非线性方程做一个[2,2]的猜测。基本上，我不知道如何将牛顿·拉斐逊融入其中。我以前编写过NR方法，但只使用了1个变量，因此我不知道如何将此逻辑转换为此代码。下面是我的单独的牛顿-拉斐逊代码：

您的思路是正确的，但是我们可以在代码中改进一些地方：

首先，请注意，牛顿-拉夫森法和高斯-赛德尔法都是求解方程组的数值方法。不惜一切代价避免使用符号变量。它不仅速度慢得多，而且不能解决所有的数值问题

使用和滥用MATLAB语法来处理矩阵和向量

您的问题是将牛顿-拉斐逊和高斯-赛德尔解算器耦合起来。我不会解决整个问题，正如你所说的，你的高斯赛德尔似乎在工作

我还将稍微更改您提供的一些符号，以便您能够充分了解MATLAB易于使用的语法

---

非线性方程组：

所提供的数据可以矢量形式书写为：

function fx = F(x)
    fx = zeros(2,1); % pre-allocate to create a column-vector
    fx(1) = x(1)-x(2)+1;
    fx(2) = x(1)^2+x(2)^2-4;
end

这将创建列向量函数

F

，作为变量

x1

（x）和

x2

（y）的函数

Newton-Raphson算法需要。你需要计算这些导数。这些功能很简单，因此您可以手动执行。创建一个函数以计算作为变量函数的雅可比矩阵

function J = jacob(x)
    J = zeros(2,2);
    J(1,1) = 1; % df/dx
    J(1,2) = -1; % df/dy
    J(2,1) = 2*x(1); % dg/dx
    J(2,2) = 2*x(2); % dgdy
end

你对牛顿-拉斐逊的逻辑是正确的。让我们用它来编码我们的牛顿·拉斐逊：

function x = newton(fun,jacobian,x0)
    % This function uses the Newton-Raphson method to find a root for the
    % nonlinear system of equations F, with jacobian J, given an initial
    % estimate x0.

    % Here we take advantage of MATLAB syntax to easily implement our
    % routine. fun and jacobian are function handles to the equations and 
    % its derivatives. So it is computationally much more efficient to use
    % it instead of working with symbolic variables.

    % Following the steps you provided and the Newton-Raphson for one variable:
    TOL = 0.00001;
    MAXITER = 100;

    err = 1;
    iter = 0;
    x = x0;
    while err>TOL && iter<MAXITER % repeat until error is smaller than tolerance
        % step 1: linearize the system
        fx = fun(x);
        J = jacobian(x);
        % notice that the system is already in matrix form.

        % ********************************************* %
        % step 1.2: solve for stepsize H              * %
        H = -J\fx; % SOLVE LINEAR SYSTEM OF EQUATIONS * %
        % ********************************************* %

        % step 2: add stepsize to the previous guess of x
        x = x+H;

        % step 3: calculate error
        err = norm(H);
    end
end

我们的函数与MATLAB的内置函数之间的差异非常小。看来该功能可以正常工作

请注意上面突出显示的步骤1.2。这是重要的一步。在这一步中，我使用MATLAB齿隙操作符来求解线性系统Ax=b。以下语句具有相同的功能（）：

如果你必须使用高斯-赛德尔方法来求解线性方程组，我将把这些修改留给你去做。在步骤1.2中，您将更改Gauss-Seidel函数的齿隙运算符：

H = -J\fx;
H = gaussSeidel(-J,fx);

function x = gaussSeidel(A,b)
    % Solves the system of linear equations Ax=b by the Gauss-Seidel
    % method.
    %
    % ...
    %
end

并正确编写

gausseidel

函数（在函数中转换代码）：

---

这应该可以解决问题。

如果您以前编写过代码，那么将其全部放在一起应该不会太难。你可以向我们提供你所做的一切。基本上，Newton-Raphson方法设置迭代[J]*{DeltaX}=-{F}。必须提供雅可比矩阵（矩阵o偏导数）和函数[原始系统]。这形成了Ax=b型线性方程组。要求解线性系统，请调用Gauss-Seidel例程以迭代方式求解。伪代码看起来不错。试着把它们放在一起，给我们一个看似完美的开场白。@Thales我照你说的做了，并用我尝试过的代码更新了我的帖子，它成功了！非常感谢你！我真的很感激。有一点，我有点困惑，为什么在Jacob函数的J（2,2）中加上y。我把它改成了x（2），让它为我工作。除此之外，谢谢你的评论。它真的帮助我理解了如何有效地使用Matlab：）对不起，错别字了，只是把它修好了！

x = A\B
x = mldivide(A,B)

H = -J\fx;
H = gaussSeidel(-J,fx);

function x = gaussSeidel(A,b)
    % Solves the system of linear equations Ax=b by the Gauss-Seidel
    % method.
    %
    % ...
    %
end