Matlab 构造由基矩阵的不同幂组成的分块矩阵

假设我们有一个基矩阵

a

>> A = [1,2;-1,3]
A =

   1   2
  -1   3

我想知道是否有一个简单的命令可以构造一个由

a

，

a^2

，

a^3

组成的块矩阵

A^n

和任何给定的正整数

n

，如

B = [A; A^2; A^3; ...; A^n]

显然，如果

A

是一个标量，我们可以像

A.^（1:n）

那样做。我想知道矩阵

a

是否有类似的操作或命令。这就是我的动机

---

我可以使用循环（

for

循环或

arrayfun

）来实现它，但我正在为它寻找一些简单而优雅的命令。

一行完成它的超级详细方式：

B= cell2mat(cellfun(@mpower,mat2cell(repmat(A,n,1),[ones(n,1)*size(A,1)],size(A,2)),mat2cell([1:n]',ones(n,1),1),'UniformOutput',false))

然而，我认为for循环（带有预分配）可能更快、更清晰。如果for循环是清晰的，则它不是“不合法的”。清晰应该是你的目标，除非它的速度是超临界的（同样，这一个班轮仍然在引擎盖下循环）

我相信有人会想出一个更清晰的一行，但我的评论仍然适用

PD：魔术师@LuisMendo建议：

B=cell2mat（arrayfun（@（k）{A^k}，1:n）。

作为一个更干净的选择。（仍在内部循环）

可能会有帮助：

A = [1,2;-1,3];
n = 3;
B = eval(['[A' sprintf(';A^%d',2:n) ']']);

然而，使用循环将矩阵自身相乘是有效的，特别是当矩阵较大时

C = cell (n,1);
D = 1;
for k = 1:n
    D *= A; % In MATLAB use D = D * A;
    C{k} = D;
end
B = vertcat(C{:});

及其八度语法的

eval

版本（为了好玩，不推荐）：

---

在矩阵A可对角化的情况下，您可以得到一个简单的解决方案（不是一条直线，但仍然是！）：

---

摘自《圣经》。除了在特定情况下的这个解决方案之外，我认为涉及Jordan形式的一般形式不容易在Matlab中实现。

也不一定是答案，因为它也依赖于cellfun，在精神上与这里的其他答案类似，但我认为这稍微优雅一些，并且使用内置函数而不是匿名函数（如果这对您来说很重要的话，保证会更快）

此外，此版本还适用于任何形状的指数矩阵，产生适当的“块”输出

---

如果您不介意使用递归方法，那么下面可能是一个选项

function y = f(A,n)
  if n==1 
    y = A;
    return;
  end 
  y = [A;f(A,n-1)*kron(eye(n-1),A)];
end

然后

---

你想要矩阵指数还是元素指数？@AnderBiguri矩阵指数相关问答：。对于2x2这样的小矩阵，可能会为任何

n

的每个条目得出一个方程式。math.se上的另一篇相关文章：@Wolfie Nope，

a

可能是任何大小的正方形矩阵。这并不容易，也不优雅，而且可能由于使用了单元格而变慢。否则的话，找到一条一条的航线就太好了！谢谢你的回答。实际上，我使用了

arrayfun

来构造矩阵，但我猜这是一种隐藏循环。“你还有别的想法吗？”托马斯说，“我认为，你提出要求的前提是无效的。”。没有真正的理由避免循环，除非它们不那么清晰。（例如，代替求和）如果

A

是一个标量，我们可以像

A.^（1:n）

。我想知道矩阵

a

@ThomasIsCoding no是否有类似的操作或命令，因为

^

和

^

是完全不同的MATLAB函数。你可以做你建议的事情，只是因为它是一个元素级的操作符，而不是因为它是一个“power”。嗯，你可能想对

eval

的陷阱提出一个大的警告。即使是它的文档页面也在最上面显著地显示了这一警告。另外，我怀疑这会更快，因为在使用

eval

@Adriaan时禁用了JIT，我非常抱歉！这个问题迫使我使用eval，否则我就不会这样做。我希望循环版本+1，这可能比OP的原始循环（分别计算每个幂）更有效。但是

eval

解决方案。。。如果你发布了两个不同的答案，我可能会对其中一个投赞成票，对另一个投反对票@谢谢你。eval有其缺点，但在这个答案中，它显示了不同的思维方式，可能有资格投票。我能看到一些奇怪的东西。这个问题需要一个无循环的答案，但大多数答案都包含循环！！如果你有疑问，我想我已经说服你投票了。提前谢谢。！

[V,D] = eig(A);
k = size(A,1);
B = kron(eye(n),V)*(reshape(D.^reshape(1:n,[1 1 n]),[k k*n]).')*inv(V);

A = [ 1,2
     -1,3 ];

N = [ 1,2,3
      2,3,4
      3,4,5 ];

expblk = @(A,N) cell2mat(
             cellfun( @mpower, {A}, num2cell(N), 'UniformOutput', false )
         );

expblk(A,N)

% ans =
%     1    2   -1    8   -9   22
%    -1    3   -4    7  -11   13
%    -1    8   -9   22  -31   48
%    -4    7  -11   13  -24   17
%    -9   22  -31   48  -79   82
%   -11   13  -24   17  -41    3

function y = f(A,n)
  if n==1 
    y = A;
    return;
  end 
  y = [A;f(A,n-1)*kron(eye(n-1),A)];
end

B =

    1    2
   -1    3
   -1    8
   -4    7
   -9   22
  -11   13
  -31   48
  -24   17
  -79   82
  -41    3