Matlab中符号积分的变精度算法

我试图计算一些积分，它们使用非常高的幂指数。一个例子是：

(-exp(-(x+sqrt(p)).^2)+exp(-(x-sqrt(p)).^2)).^2 ...
./( exp(-(x+sqrt(p)).^2)+exp(-(x-sqrt(p)).^2)) ...
/ (2*sqrt(pi))

其中，

p

是常数（1000是一个典型值），我需要x=[-inf，inf]的积分。如果我使用

integral

函数进行数值积分，结果得到

NaN

。如果我把积分的极限设为[-20,20]和一个低的

p

（1，这应该是错误的，因为方程应该渐近到1（或者辅域应该是[0,1]）

---

我的vpa有什么问题吗？或者有没有其他方法来计算我的积分的高精度值？

首先，你在做一些事情，使解决符号问题变得更困难和更不准确。变量

pi

是一个浮点值，而不是基本c的精确符号表示在Matlab符号数学代码中，您应该始终使用

sym（'pi'）

。您应该对任何其他特殊数值执行相同的操作，例如，您使用的

sqrt（sym（'2'））

和

exp（sym（'1'））

，否则默认情况下它们将转换为近似有理分数（您在问题的代码中看到的奇怪的大数字的来源）。有关更多详细信息，我建议您通读函数的文档

应用上述方法，下面是一个可运行的示例：

syms x;
p = 1000;
f = (-exp(-(x+sqrt(p)).^2)+exp(-(x-sqrt(p)).^2)).^2./(exp(-(x+sqrt(p)).^2)...
    +exp(-(x-sqrt(p)).^2))/(2*sqrt(sym('pi')));

现在

vpa（int（f，x，-100100））

和

vpa（int（f，x，-1e3,1e3））

精确返回

1.0

（精度为32位，见下文）

不幸的是，

vpa（int（f，x，-Inf，Inf））

不返回答案，而是调用底层的MuPAD函数。正如我在中所解释的，这就是当

int

无法获得结果时可能发生的情况。通常，它应该尝试以数字形式计算积分，但您的函数在±处似乎定义不正确∞, 导致变量精度求积方法无法很好地处理被零除的问题。您可以通过使用函数增加变量精度来计算更宽范围内的积分（只需记住在完成时将

位数设置回默认值32）。设置
位数（128）
允许我计算
vpa（int（f，x，-1e4,1e4））
。您还可以在较低有效位数设置下通过
2*vpa（int（f，x，0,1e4））
在更大范围内更有效地计算积分

如果您的目标是查看比一个
p=1000
对应的值小多少，您可以使用类似于
vpa（1-2*int（f，x，0,1e4））
的内容。在
位（128）
处，返回

0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000086457415971094118490438229708839420392402555445545519907545198837816908450303280444030703989603548138797600750757834260181259102

应用于这表明，它大约是<代码>8.6e-89
谢谢，这起了工作！我还有另一个，虽然：（-7*exp（（x+x+7*7*sqrt（x+7+7*7*sqrt（p/21）p/21）表示，我有另一个，但我有另一个：（-7*exp（（（x+x+7*x+7*x+7*7*sqrt（x+7*x+7*sqrt（x+7*sqrt）sqrt（x+7*sqrt（x+7*sqrt（p/x+7*sqrt（p/x+7*sqrt（p/x+7*sqrt（p/x+7*sqrt（p（p/p/p/p/p/p/21）sqrt（p/21）（p/21）（p/21）（p/21）（p/21）p/p/p/p/p/p/21）^2./（exp（-（x+7*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x+5*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x+3*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x+7*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x-5*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x-3*sqrt（p/21））。^2）+exp（-（x-sqrt（p/21））。^2）+对于p=0.001，Matlab在这一个上无休止地运行。有什么想法吗？有两件事要尝试。
0.001
没有精确的浮点表示法。符号数学引擎似乎正确地将其识别为这个十进制值
1/1000
，但如果您改为设置
p=1/sym（1000）
（通常可能是个好主意），似乎方程的操作方式不同。您也可以尝试设置
p=1/vpa（1000）
。对于本例，在这两种情况下，我都能从
vpa（int（f，x，-Inf，Inf））
得到相同的结果。
0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000086457415971094118490438229708839420392402555445545519907545198837816908450303280444030703989603548138797600750757834260181259102