Matlab 使用ODE事件位置并使用事件处的解决方案作为ode45的输入

我一直在尝试重新创建一个在以下论文中发现的绘图：

我试图重新创建的图位于第267页右上角，具体是$x（t）$和$t$

本文使用的颂歌是 $$m\ddot{x}（t）+k_0x（t）+k_1（x（t）-x_s）=0$$ 其中，$x_s$是由$x_s=x（t_r）$定义的分段常量函数，只要$\dot{x}（t_r）=0$

使用值$m=1、k_0=150、$k_1=50生成绘图$

解决此问题的代码如下所示：

tstart = 0;
tfinal = 2;

tspan = [tstart tfinal];
u0 = [1; 0];
refine = 4;
options = odeset('Events', @resetevent , 'OutputSel' , 1, 'Refine', refine);

tout = tstart;
uout = u0';
teout = [];
ueout = [];
ieout = [];
ue = [];
while tout(end) < tfinal

% Solve until the first terminal event.
[t, u, te, ue, ie] = ode45(@(t,u) sys(t, u, ue), [tstart tfinal] , u0, options);

% Accumulate output.  This could be passed out as output arguments.

nt = length(t);
tout = [tout; t(2:nt)];
uout = [uout; u(2:nt,:)];
teout = [teout; te];          % Events at tstart are never reported.
ueout = [ueout; ue];
ieout = [ieout; ie];


% Set the new initial conditions, with .9 attenuation (??).

u0 = [u(nt,1) ; u(nt,2)];

% A good guess of a valid first timestep is the length of the last valid
% timestep, so use it for faster computation.  'refine' is 4 by default.
options = odeset(options,'InitialStep',t(nt)-t(nt-refine),...
    'MaxStep',t(nt)-t(1));

tstart = t(nt);
end

figure(1)
set(gcf,'units','normalized','outerposition',[0 0 1 1])

subplot(2,1,1);
plot(tout,uout(:,1));
title(['Time history of $x(t)$'],'interpreter','latex','fontsize',20)
ylabel('$x$','interpreter','latex','fontsize',15)
xlabel('$t$','interpreter','latex','fontsize',15)
xlim(tspan)

grid on
hold on

subplot(2,1,2);
plot(tout,uout(:,2))
title('Time history of $\dot{x}(t)$','interpreter','latex','fontsize',20)
ylabel('$\dot{x}$','interpreter','latex','fontsize',15)
xlabel('$t$','interpreter','latex','fontsize',15)
xlim(tspan)

grid on
hold on

subplot(2,1,1);
stairs(teout,ueout(:,1))
title('Time history of $x_s(t)$','interpreter','latex','fontsize',20)
xlabel('$t$','interpreter','latex','fontsize',15)
xlim(tspan)

grid on
hold on

% 
function dz = sys(t, z , us)
dz = zeros(2,1);
if isempty(us) == 1
    us = 0;
else
    us;
end

% if isempty(us) == 1
%     us = 0;
% elseif us(1) == 1
%     us(1) = -1;
% else
%     us;
% end

m = 1;
k0 = 150;
k1 = 50;

dz(1) = z(2);
dz(2) = - ((k0 + k1)/m)*z(1) + (k1/m)*us(1);
end


% Reset Event Function
function [lookfor, stop, direction] = resetevent(t, z)
% Locate the time when xdot passes through zero in any direction
% and stop integration.
lookfor = z(2);  % when xdot = 0
stop = 1;        % stop the integration
direction = 0;   % any direction
end

tstart=0；
tfinal=2；
tspan=[tstart tfinal]；
u0=[1；0]；
精炼=4；
选项=odeset（'Events'，@resetevent'，OutputSel'，1'，Refine'，Refine）；
tout=tstart；
uout=u0'；
teout=[]；
ueout=[]；
ieout=[]；
ue=[]；
当兜售（结束）时
%求解直到第一个终端事件。
[t，u，te，ue，ie]=ode45（@（t，u）系统（t，u，ue），[tstart tfinal]，u0，选项）；
%积累产量。这可以作为输出参数传递。
nt=长度（t）；
tout=[tout；t（2:nt）]；
uout=[uout；u（2:nt，：）]；
teout=[teout；te]；%从未报告tstart上的事件。
ueout=[ueout；ue]；
ieout=[ieout；ie]；
%设置新的初始条件，衰减为.9（？）。
u0=[u（nt，1）；u（nt，2）]；
%有效的第一个时间步的准确猜测是最后一个有效时间步的长度
%timestep，因此使用它可以加快计算速度。”“优化”默认为4。
选项=odeset（选项，'InitialStep'，t（nt）-t（nt优化），。。。
‘MaxStep’，t（nt）-t（1））；
tstart=t（nt）；
结束
图（1）
集合（gcf、'units'、'normalized'、'outerposition'、[0 0 1 1]）
子批次（2,1,1）；
地块（tout，uout（：，1））；
标题（['x（t）$'的时间历史，'transparer'，'latex'，'fontsize'，20）
ylabel（“$x$”、“解释器”、“乳胶”、“字体大小”，15）
xlabel（“$t$”、“解释器”、“latex”、“fontsize”、15）
xlim（tspan）
网格化
等等
子批次（2,1,2）；
地块（tout，uout（：，2））
标题（$\dot{x}（t）$，“解释器”，“乳胶”，“字体大小”，20的时间历史）
ylabel（“$\dot{x}$”、“解释器”、“乳胶”、“fontsize”、15）
xlabel（“$t$”、“解释器”、“latex”、“fontsize”、15）
xlim（tspan）
网格化
等等
子批次（2,1,1）；
楼梯（teout，ueout（：，1））
标题（$x_s（t）$的时间历史，'transparer'，'latex'，'fontsize'，20）
xlabel（“$t$”、“解释器”、“latex”、“fontsize”、15）
xlim（tspan）
网格化
等等
% 
函数dz=sys（t，z，us）
dz=零（2,1）；
如果isempty（us）=1
us=0；
其他的
美国；
结束
%如果isempty（us）=1
%us=0；
%elseif us（1）=1
%us（1）=-1；
%否则
%美国；
%结束
m=1；
k0=150；
k1=50；
dz（1）=z（2）；
dz（2）=-（（k0+k1）/m）*z（1）+（k1/m）*us（1）；
结束
%重置事件功能
函数[查找、停止、方向]=resetevent（t，z）
%确定xdot在任何方向通过零点的时间
%停止整合。
查找=z（2）；%当xdot=0时
停止=1；%停止整合
方向=0；%任何方向
结束

使用

u0=[1；0]

生成的绘图为

使用

u0=[1；-eps]

生成的绘图为

以

u0=[u（nt，1）；0]

作为重新启动初始条件生成的绘图 我有几个与此相关的问题：

让我困惑的是，出于某种原因，Matlab确实找到了 $\dot{x}$的第一个零，并输入到函数中，但 上的文档称它跳过了第一个 终点事件。这可能是我做错了什么，但我不能 看看是什么

如果您查看$\dot{x}（t）$的绘图，在它通过零的点处，初始条件从 最后一个值以结束，它在绘图中给出了一个扭结，这意味着导数不匹配。我试过了 使用0作为初始值，这对我来说很有意义，但它会导致解算器发散。然而，衍生品似乎更匹配。 我不确定0.9衰减是做什么的，我试着搞砸了 那是徒劳的

如果您在函数

sys

中使用注释代码，它将强制执行

us

的值，并且绘图将与本文中的一样，但它太具体了，不是我想做的，因为我想将重置的想法扩展到不同的ODE

我还注意到，如果我将初始条件设置为

u0=[1；-eps]

，它实际上会从零开始，但不会精确地注册为零，从而生成正确的绘图

---

谢谢你的帮助

这个问题太长了吗？我可以做些什么来获得一些帮助，了解ODE事件位置的情况吗？你的问题不在于如何使用软件，而在于软件对解决方案的影响。这有点离题，在scicomp.stackexchange.com上您可能会获得更好的成功。-为了更好地理解，您应该说

xs（t）

是分段常数，其值

xs（t）=x（te）

在顶点

dotx（te）=0

--访问问题中提到的图表会有所帮助。（是的，二阶导数的跳跃会导致一阶导数的扭曲。）如果您愿意设置，则应将最大时间步长设置为振荡周期的三分之一或四分之一

m*u'+（k0+k1）*u=0

。也就是说，

dtmax=pi/2/sqrt（（k0+k1）/m）

。感谢您的回复和建议。为了清晰起见，我将进行必要的修改。我还将查看scicomp.stack.exchange.com并了解它的发展方向。至于问题1），确切的语言是“在集成的第一步中”，但您的第一个事件是在第一步之前的初始条件中。这意味着使用

u0=[1；+eps]

可以满足此限制，并忽略第一次过零。这是一个太长的问题吗？我可以做些什么来获得一些帮助，了解ODE事件位置的情况吗？你的问题不在于如何使用软件，而在于软件对解决方案的影响。这有点离题了，你可能会在sci取得更好的成绩