Matlab 不准确求解线性方程组的倍频程？

我发现倍频程不准确地解方程组

k= [1.0000e+015,  -2.6667e-001,  3.3333e-002;-2.6667e-001,  5.3333e-001,  -2.6667e-001;3.3333e-002,  -2.6667e-001,  2.3333e-001];
f = [0;6.66667;41.66667];
x = (k\f)
x1 = inv(k)*f 

x=（k\f）

-3.8893e-031
-1.9136e+001
 1.1192e+001

x1=inv（k）*f

 4.8339e-014
 2.3752e+002
 4.5003e+002

这两个答案有区别。为了检查其他软件是否可以解决这个问题，我尝试了python numpy

import numpy as np
k = np.array ([[1.0000e+015,  -2.6667e-001,  3.3333e-002],[-2.6667e-001,  5.3333e-001,  -2.6667e-001],[ 3.3333e-002,  -2.6667e-001,  2.3333e-001]])
f = np.array([[0],[6.66667],[41.66667]])
x = np.linalg.solve(k, f)
print(x)

[[  4.83388655e-14]
 [  2.37521517e+02]
 [  4.50034428e+02]]

它正确地解决了这个问题。 我想在倍频程中使用操作符

\

来解方程（我想这是MATLAB中推荐的方法）。有什么建议吗

在Windows上使用Octave 4.2.x

编辑：

为什么答案被否决？以下是GNU Octave所说的：

与许多Matlab脚本兼容的插件

试着在MATLAB中运行相同的脚本，然后自己思考

---

评论家们把责任归咎于病态矩阵。一个好的求解器应该能够以足够的精度进行求解（就像numpy和MATLAB所做的那样）。

摘要：倍频程开发人员选择返回（标记的）奇异方程组的“最小范数解”

===============

k

的第一个元素远大于所有其他元素，而

f

的对应项为0。在

x1

解决方案中

4.8339e-014
2.3752e+002
4.5003e+002

第一个术语实际上是0

对剩余的2x2矩阵执行解算，会产生相同的值：

>> inv(k(2:end,2:end))*f(2:end)
ans =    
   237.52
   450.03

>> k(2:end,2:end)\f(2:end)
ans =
   237.52
   450.03

在

numpy

中：

In [518]: np.linalg.solve(k[1:,1:],f[1:])
Out[518]: 
array([[ 237.52151737],
       [ 450.0344278 ]])

=================

由于某些原因，

\

解算器对矩阵奇异性更为敏感

>> k\f
warning: matrix singular to machine precision, rcond = 6.66612e-17
warning: matrix singular to machine precision, rcond = 6.66612e-17

是的，对这个解决方案的测试表明它已经过时了

>> k*(k\f)
ans =
    5.4761
  -13.1904
    7.7144

>> rcond(k)
ans =    6.6661e-17
>> rcond(k(2:end,2:end))
ans =  0.083327

我不确定这一点的意义，但是

numpy

lstsqr

解算器返回与

k\f

相同的坏值：

In [525]: np.linalg.lstsq(k,f)
Out[525]: 
(array([[ -3.88925778e-31],
        [ -1.91360857e+01],
        [  1.11917602e+01]]),
 array([], dtype=float64),
 2,
 array([  1.00000000e+15,   6.89292234e-01,   7.73677656e-02]))

>> pinv(k)*f  #  Moore-Penrose pseudoinverse
ans =
  -3.8893e-31
  -1.9136e+01
   1.1192e+01

-声称这是记录在案的。对于奇异、欠定或超定方程，倍频程返回“最小范数解”，而不是“基本解”（由MATLAB选择）

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我不这么认为。它特定于倍频程运算符\可能是该运算符的算法。其他方法可行，但不推荐。如果浮点有问题，这两种方法都不应该起作用。您在尝试这些方法时是否注意到警告？“警告：矩阵对机器精度的奇异性，rcond=6.66612e-17”是，尽管如此，

numpy

给出了更准确的答案。实际上，倍频程

inv

也起作用。当两种方法都给出警告时，请查看倍频程\和

inv

中的错误大小。这是一个条件非常差的矩阵。毫不奇怪，你会得到很大的错误。我认为

k\f

与

inv（k）*f

不同，它是数值上更稳定的伪逆，即

inv（k'k）*（k'f）

：这就是结果不同的原因。