Matlab 生成有限差分的矩阵

我正在为一个2D PDE问题实施一个有限差分方案。我希望避免使用循环来生成有限差分。例如，为了生成u（x，y）xx的二阶中心差，我可以将u（x，y）乘以以下值：

---

对于u_xy=（u_{i+1，j+1}+u_{i-1，j-1}-u_{i-1，j+1}-u_{i+1，j-1}）/（4dxdy）有一个好的矩阵表示吗？这是一个很难编码的问题，因为它是在2D中-我想用一些矩阵乘以u（x，y）以避免循环。非常感谢

显然，您可以自己创建矩阵，但在Matlab中有用于此目的的

tridiag

比如说

>> full(gallery('tridiag',5,-1,2,-1))

ans=

---

如果你的点存储在一个

N×N

矩阵中，那么，如你所说，左乘你的有限差分矩阵可以得到关于

u_{xx}

的二阶导数的近似值。右乘有限差分矩阵的转置相当于近似值

u_{yy}

。通过左乘和右乘（例如，中心差分矩阵），可以获得混合导数

u_{xy}

的近似值

delta_2x =

     0     1     0     0     0
    -1     0     1     0     0
     0    -1     0     1     0
     0     0    -1     0     1
     0     0     0    -1     0

（然后除以因子

4*Dx*Dy

），如下

U_xy = 1/(4*Dx*Dy) * delta_2x * U_matrix * delta_2x';

如果将矩阵转换为

N^2

向量

U_vec = U_matrix(:);

然后，这些运算符可以用a表示，在MATLAB中实现为：我们有

对于有限差分矩阵

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy)*(kron(delta_2x,delta_2x)*U_vec);

相反，如果你有一个

N-by-M

矩阵

U\U mat

，那么左矩阵乘法等于

kron（eye（M），delta\U 2x\U N）

，右矩阵乘法等于

kron（delta\U 2y\U M，eye（N））

，其中

delta\U 2y\U M

（

delta\U 2x\U N

）是

M-by-N

）中心差分矩阵，因此操作是

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy) * kron(delta_2y_M,delta_2y_N)*U_vec;

下面是一个MATLAB代码示例：

N = 20;
M = 30;
Dx = 1/N;
Dy = 1/M;

[Y,X] = meshgrid((1:(M))./(M+1),(1:(N))/(N+1));

% Example solution and mixed derivative (chosen for 0 BCs)
U_mat = sin(2*pi*X).*(sin(2*pi*Y.^2));
U_xy = 8*pi^2*Y.*cos(2*pi*X).*cos(2*pi*Y.^2);

% Centred finite difference matrices
delta_x_N = 1/(2*Dx)*(diag(ones(N-1,1),1) - diag(ones(N-1,1),-1));
delta_y_M = 1/(2*Dy)*(diag(ones(M-1,1),1) - diag(ones(M-1,1),-1));

% Cast U as a vector
U_vec = U_mat(:);

% Mixed derivative operator
A = kron(delta_y_M,delta_x_N);

U_xy_num = A*U_vec;
U_xy_matrix = reshape(U_xy_num,N,M);

subplot(1,2,1)
contourf(X,Y,U_xy_matrix)
colorbar
title 'Numeric U_{xy}'
subplot(1,2,2)
contourf(X,Y,U_xy)
colorbar
title 'Analytic U_{xy}'

---

使用MATLAB中可用的稀疏功能生成有限差分近似矩阵是一个不错的选择。。它节省了大量（实际上非常多）内存…

您的编程语言/环境是什么？@karakfa刚刚在Matlab抱歉，我应该更具体地回答我的问题。我知道如何在matlab中创建三对角矩阵，这是我想知道的偏导数矩阵的结构。也许我应该问一下comp sci？对不起，我没注意，我以为你在描述这个矩阵的结构。我会考虑的。你的意思是

u_ij=…

而不是方程中的

u xy

。我认为简单的矩阵乘法是不可能的，因为你所依赖的矩阵索引既不匹配行索引，也不匹配列索引。谢谢：）u xy表示部分w.r.t.x&y。因此，在u_{i，j}点，推导可以用上面我写的方案来近似。我想知道，例如，你是否把一个3x3矩阵变成了一个1 x 9行向量，然后乘以一个9 x 9矩阵（基本上摆脱了2D问题）。这似乎是一个相当笨拙的方法，但我认为一定有更好的东西在那里。谢谢，这是一个很好的答案。如果u（x1，x2）在一个矩形域上呢？事情变得有点棘手，但这是可能的。你想在每个方向上得到不同数量的点是吗？是的，我想概括一下：）我基本上已经完成了你建议的第一部分。例如，如果将其离散化为6x4网格，我将生成两条三对角线，4x4（表示u_xx）和6x6（表示u_yy），其结构与我在原始帖子中使用的结构相同。do u*（4x4）代表u_xx，而（6x6）*u代表u_yy。谢谢，我要试一试@Mike Well矩阵较大且相对稀疏（有点带状，可能宽度

max（N+1，M+1）

，不对称），因此您可能希望避免直接计算它或它的逆矩阵。不确定该建议什么，当然也想不到快速解决方案。

U_xy_vec = 1/(4*Dx*Dy) * kron(delta_2y_M,delta_2y_N)*U_vec;

N = 20;
M = 30;
Dx = 1/N;
Dy = 1/M;

[Y,X] = meshgrid((1:(M))./(M+1),(1:(N))/(N+1));

% Example solution and mixed derivative (chosen for 0 BCs)
U_mat = sin(2*pi*X).*(sin(2*pi*Y.^2));
U_xy = 8*pi^2*Y.*cos(2*pi*X).*cos(2*pi*Y.^2);

% Centred finite difference matrices
delta_x_N = 1/(2*Dx)*(diag(ones(N-1,1),1) - diag(ones(N-1,1),-1));
delta_y_M = 1/(2*Dy)*(diag(ones(M-1,1),1) - diag(ones(M-1,1),-1));

% Cast U as a vector
U_vec = U_mat(:);

% Mixed derivative operator
A = kron(delta_y_M,delta_x_N);

U_xy_num = A*U_vec;
U_xy_matrix = reshape(U_xy_num,N,M);

subplot(1,2,1)
contourf(X,Y,U_xy_matrix)
colorbar
title 'Numeric U_{xy}'
subplot(1,2,2)
contourf(X,Y,U_xy)
colorbar
title 'Analytic U_{xy}'