Matrix 在Mathematica中构造三对角矩阵，其中非零元素包含函数和变量

假设我想要构造一个矩阵a，使得a[[I，I]=f[x，y]+d[I]，a[[I，I+1]=u[I]，a[[I+1，I]=l[I]，I=1，N。比如说，f[x，y]=x^2+y^2

我如何用Mathematica编写代码

此外，如果我想将A的第一个对角线元素，即A[[1,1]]在x和y上进行积分，两者都从0到1，我该怎么做呢？

波段是专门为此而定制的：

In[1]:= n = 4;
f[x_, y_] := x^2 + y^2;
A = Normal[SparseArray[{
  {i_,i_}/;i>1 -> f[x,y]+ d[i],
  {i_,j_}/;j-i==1 -> u[i],
  {i_,j_}/;i-j==1 -> l[i-1],
  {1, 1} -> Integrate[f[x,y]+d[1], {x,0,1}, {y,0,1}]},
  {n, n}]]

Out[3]= {{2/3+d[1], l[1],          0,            0},
        {u[1],      x^2+y^2+ d[2], l[2],         0},
        {0,         u[2],          x^2+y^2+d[3], l[3]},
        {0,         0,             u[3],         x^2+y^2+d[4]}}

myTridiagonalMatrix@n_Integer?Positive := 
SparseArray[
  { Band@{1, 1} -> f[x, y] + Array[d, n]
  , Band@{1, 2} -> Array[u, n - 1]
  , Band@{2, 1} -> Array[l, n - 1]}
, {n, n}]

检查它无需定义f、d、u、l：

请注意，MatrixForm不应是定义的一部分。例如，设置a=something//MatrixForm是个坏主意。您将得到一个MatrixForm对象，而不是table=array of array或稀疏数组，它的唯一用途是在前端漂亮地打印出来。在计算中尝试使用矩阵变换会产生错误，并会导致不必要的混乱

在{1，1}处集成元素：

您也可以在不定义f或d的情况下检查它：

myTridiagonalMatrixWithFirstDiagonalElementIntegrated@5

然而，后者的行动看起来可疑。例如，它不会使矩阵或其相应的线性系统保持不变w.r.t.合理变换。此操作甚至不能保持矩阵的线性。你可能不想这么做

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对上面评论的评论：不需要定义[x，y]：=…来集成[A[[1,1]]，{x，0,1}，{y，0,1}]。请注意，A[[1,1]]与A[1,1]完全不同：前者是[A,1,1]的一部分，是表A的某个元素。A[1,1]是一个不同的表达式：如果A是某个表，那么A[1,1]就是该表[1,1]，它是一个有效的表达式，但通常被认为是无意义的。

谢谢。我想，这很好用。但是，如何进行集成？难道不需要有参数x和y吗？除非我误解了这个问题，它做了积分，在矩阵的左上角是结果，2/3+d[I]oops，应该是2/3+d[1]，现在编辑并更正了。我不明白为什么你认为A需要参数，它只是一个矩阵。您可以使用[[2,3]]提取元素，但这是我猜您可能在想的唯一一件事。如果你的意思不止这些，那么你需要解释你在想什么。Mathematica不是一种普通的编程语言，如果这是你的背景和出身的话。很多事情都不一样。对不起，我可能错过了上次的整合或者它不在那里。假设我构造一次矩阵，然后在某个时间点，我想进行积分。为此，我是否应该定义一个as函数：LHS上的[x，y]，然后积分[A[[1,1]]，{x，0,1}，{y，0,1}]？如果我听起来还不太清楚，请告诉我。顺便说一句，正常人做什么？我对每个新问题都有点困惑。矩阵不是函数，它只是一个存储值的地方。您可以稍后为元素指定一个新值，比如[[1,1]]=Integrate[stuff]，但我开始认为您的困惑可能比我想象的要深。正常人会做一些不同的事情，这取决于你给它什么。在本例中，Normal将SparseArray转换为普通矩阵。阅读有关普通和SparseArray的文档。阅读文档页面时，请始终单击“详细信息”。对不起，我同意，我应该检查文档。然而，我强烈怀疑你误解了我。我们暂时不要做积分。我试图在你的第一个回复后构建矩阵，该回复现在被修改了，但不能正确生成。n=4；f[x，y]：=x^2+y^2；对于[i=1，il[i-1]}，{n，n}]///MatrixForm

myTridiagonalMatrixWithFirstDiagonalElementIntegrated@n_Integer?Positive := 
MapAt[
  Integrate[#, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}]&
, myTridiagonalMatrix@n
, {1, 1}]

myTridiagonalMatrixWithFirstDiagonalElementIntegrated@5