Numpy FFT卷积如何以及为什么比直接卷积更快？

我读到过卷积在频域计算时速度更快，因为它“只是”一个矩阵乘法（在2D中），而在时域它是很多小矩阵乘法

所以我做了这段代码，我们可以看到FFT卷积比“正常”卷积更复杂。 很明显，我的假设有问题

怎么了？

来自Symphy导入exp、日志、符号、初始打印、lambdify
初始打印（使用_latex='matplotlib'）
将numpy作为np导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
定义复杂度（n）：
“”“大小为（n，n）的2个矩阵的MatMul的复杂性”
#看https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication_algorithm
返回n**2.5
def _复数fft（n）：
“”“fft和ifft的复杂性”“”
#看https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_Fourier_transform
返回n*log（n）
def fft_mult_fft（n，m）：
“”“频率空间中卷积的复杂度。
fft->M和内核之间的mult->ifft
"""
返回复fft（n）*2+复fft（n）
def conv（n，m）：
“时空卷积的复杂性。
对于M的每n，我们执行2（M，M）矩阵的MatMul
"""
返回n*_复数（m）
n=符号（'n'）#M的大小=（n，n）
m=符号（'m'）#内核大小=（m，m）
M=np.linspace（1，1e3+1，1e1）
内核大小=np.linspace（2,7,7-2+1）**2
fft=fft\u mult\u fft（n，m）
离散=conv（n，m）
f1=lambdify（n，fft，'numpy'）
f2=lambdify（[n，m]，离散的'numpy'）
图，ax=plt.子批（1，len（内核大小），figsize=（30,10））
f1_computed=f1（M）#独立wrt M，不要每次都计算它
对于i，枚举中的大小（内核大小）：
ax[i].绘图（M，f1_计算，c='red'，label='freq domain（fft）'
ax[i].绘图（M，f2（M，大小），c='蓝色'，标签='时域（正常）'
ax[i]。图例（loc='左上角'）
ax[i].set_title（“内核大小={}”。格式（大小））
ax[i].集xlabel（“矩阵大小”）
ax[i].set_ylabel（“复杂性”）

以下是输出：（单击以缩放）

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正如@user545424所指出的，问题在于我计算的是

n*复杂度（MatMul（kernel））

而不是

n²*复杂度（MatMul（kernel））

的“正常”卷积

我终于得到了：（其中n是输入的大小，m是内核的大小）

---

下面是最终代码和新图表

来自Symphy导入exp、日志、符号、初始打印、lambdify
初始打印（使用_latex='matplotlib'）
将numpy作为np导入
将matplotlib.pyplot作为plt导入
定义复杂度（n）：
“”“大小为（n，n）的2个矩阵的MatMul的复杂性”
#看https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication_algorithm
返回n**2.5
def _复数fft（n）：
“”“fft和ifft的复杂性”“”
#看https://stackoverflow.com/questions/6514861/computational-complexity-of-the-fft-in-n-dimensions#comment37078975_6516856
返回4*（n**2）*日志（n）
def fft_mult_fft（n，m）：
“”“频率空间中卷积的复杂度。
fft->M和内核之间的mult->ifft
"""
返回复fft（n）*2+复fft（n）
def conv（n，m）：
“时空卷积的复杂性。
对于M的每个n*n单元，我们执行2（M，M）矩阵的MatMul
"""
返回n*n*_复数（m）
n=符号（'n'）#M的大小=（n，n）
m=符号（'m'）#内核大小=（m，m）
M=np.linspace（1，1e3+1，1e1）
内核大小=np.linspace（2,7,7-2+1）**2
fft\u symb=fft\u mult\u fft（n，m）
离散符号=conv（n，m）
fft_func=lambdify（n，fft_symb，'numpy'）
dicrete_func=lambdify（[n，m]，离散符号，'numpy'）
图，ax=plt.子批（1，len（内核大小），figsize=（30,10））
图贴片设置颜色（“灰色”）
对于i，枚举中的大小（内核大小）：
ax[i].绘图（M，fft_func（M），c='red'，label='freq domain（fft）'
ax[i].绘图（M，dicrete_func（M，size），c='blue'，label='time domain（normal）'
ax[i]。图例（loc='左上角'）
ax[i].set_title（“内核大小={}”。格式（大小））
ax[i].集xlabel（“矩阵大小”）
ax[i].set_ylabel（“复杂性”）

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您正在经历两个众所周知的事实：

• 对于较小的内核大小，空间方法更快

• 对于较大的内核大小，频率方法可以更快

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您的内核和图像太小，无法观察FFT的好处。

真是个有趣的问题！我不知道完整的答案，但只要看看2D FFT的复杂性：，

\u complex\u FFT

不应该是n^2 log（n）？而且，在

\u conv

中，我认为你必须将一个m x m矩阵乘以n^2倍，因为它是2D。你是对的，这就解决了它。你称它的大小是多少？n或n²？？？如代码中所述

n=符号（'n'）#M的大小=（n，n）

；内核大小是m，其中m=row*col（对于平方过滤器，这就是为什么我尝试使用2的幂）