Optimization 在一组大小中搜索最高行列式（n选择k）

我有

n

行向量，我可以选择

k

向量来形成

k*k

矩阵。然后取每个矩阵行列式的绝对值。因此，我有

（n选择k）

可能的绝对值行列式

我希望选择产生最高行列式的行向量。是否可以优化搜索以快速执行此操作

我目前正在使用

n~=10000

和

k=31

，但我将使用各种设置

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我用python和c++编写代码

这是我在这篇文章中看到的最难的优化问题之一。您确定在您的应用程序中没有其他方法吗？这只是一种感觉，但我很确定，这个问题是np完全的，甚至更糟（负近似结果）。更糟糕的是：将

k*k

矩阵约束为半定矩阵并用凸优化问题逼近它也不起作用，因为没有太多可用的软件（您需要组合SDP+整数）。我所知道的唯一一个能够做到这一点的软件是.SDP本身（没有整数）也很难求解（即使它在多项式时间内是可行的；如果它没有因为数值问题而崩溃，它将需要很多时间）。添加整数会带来麻烦。是的，我必须搜索可能矩阵的空间以找到最高行列式。我假设，通过研究向量之间的关系，没有找到最高行列式的好方法，因为它们彼此之间有复杂的数学关系，很难描述。我相信这可能比我所问的问题更复杂。解决方案必须在n个向量的凸包角之间，因为行列式是由矩阵行或列向量跨越的单纯形的有符号体积，对于凸包内有顶点的任何单纯形，必须有一个更大的单纯形，所有的单纯形包含第一个单纯形的凸包上的顶点。这可能是因为向量的凸包“大部分时间”具有明显较少的角点。这是我在上面看到的最难的优化问题之一。您确定在您的应用程序中没有其他方法吗？这只是一种感觉，但我很确定，这个问题是np完全的，甚至更糟（负近似结果）。更糟糕的是：将

k*k

矩阵约束为半定矩阵并用凸优化问题逼近它也不起作用，因为没有太多可用的软件（您需要组合SDP+整数）。我所知道的唯一一个能够做到这一点的软件是.SDP本身（没有整数）也很难求解（即使它在多项式时间内是可行的；如果它没有因为数值问题而崩溃，它将需要很多时间）。添加整数会带来麻烦。是的，我必须搜索可能矩阵的空间以找到最高行列式。我假设，通过研究向量之间的关系，没有找到最高行列式的好方法，因为它们彼此之间有复杂的数学关系，很难描述。我相信这可能比我所问的问题更复杂。解决方案必须在n个向量的凸包角之间，因为行列式是由矩阵行或列向量跨越的单纯形的有符号体积，对于凸包内有顶点的任何单纯形，必须有一个更大的单纯形，所有的单纯形包含第一个单纯形的凸包上的顶点。这可能是因为向量的凸包“大部分时间”具有明显较少的角点。