Optimization 如何利用线性规划求解逻辑约束_Optimization_Linear Programming_Lpsolve_Gurobi

Optimization 如何利用线性规划求解逻辑约束

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Optimization 如何利用线性规划求解逻辑约束,optimization,linear-programming,lpsolve,gurobi,Optimization,Linear Programming,Lpsolve,Gurobi,我希望使用线性规划来解决逻辑中描述的以下问题。在下面的示例中，n1、n2、n3、b1、b2、b3是布尔变量目标是最小化c1 以下是限制条件：约束1:（（n1==n2或n3）和&c1==2和b1）| |（（n1==n2或n3）和&c1==1和b2）| |（（n1==n2和n3）1和&c1==3和b3）约束2:n1&&n2==非n3 约束3:只有b1、b2、b3中的一个为真我可以知道有没有可能将这些逻辑约束编码为线性规划工具（如Gurobi或lpsolve）所需的整数约束？或者是否有任何工具

我希望使用线性规划来解决逻辑中描述的以下问题。在下面的示例中，

n1、n2、n3、b1、b2、b3

是布尔变量

目标是最小化

c1

以下是限制条件：

约束1:

（（n1==n2或n3）和&c1==2和b1）| |（（n1==n2或n3）和&c1==1和b2）| |（（n1==n2和n3）1和&c1==3和b3）

约束2:

n1&&n2==非n3

约束3:

只有b1、b2、b3中的一个为真

我可以知道有没有可能将这些逻辑约束编码为线性规划工具（如Gurobi或lpsolve）所需的整数约束？或者是否有任何工具可以利用布尔约束

谢谢。

混合整数规划（不是线性规划）是可能的，但很麻烦。让我们从简单的开始：

约束2：

n1 + n2 = 1 - n3

b1 + b2 + b3 = 1  (if at most one of them is true then change = to <=)

约束3：

n1 + n2 = 1 - n3

b1 + b2 + b3 = 1  (if at most one of them is true then change = to <=)

y2:=y1-xor-n3-->（y2&&c1==2&&b1）|（y1或n3）&&c1==1&&b2）|（y1和n3）1&&c1==3&&b3）

y6:=y2&&y5&&b1-->y6 | |（（y1或n3）和&c1==1&&b2）|（（y1和n3）1和&c1==3和b3）

y10:=c1==1-->y6||（y7&&y10&&b2）|（y1和n3）1&&c1==3&&b3）

假设

1&&

是一个打字错误，实际上是

y12:=（y1和n3）-->y6 | | y11 | |（y12和&c1==3和&b3）

y16:=y12&&y15&&b3-->y6||y11|y16

y16 <= y12
y16 <= y15
y16 <= b3
y16 >= y12 + y15 + b3 - 2

y6 + y11 + y16 >= 1

我希望这有帮助。为了方便起见，我在下面提供了完整的数学模型

数学模型

      min c1 
s.t.  n1 + n2 = 1 - n3
      b1 + b2 + b3 = 1
      y1 >= 1 - (n1 + n2)
      y1 >= (n1 + n2) - 1
      y1 <= 2 - 2n1 +  n2
      y1 <= 2 - 2n2 + n1
      y2 <= y1 + x3
      y2 >= y1 - x3
      y2 >= x3 - y1
      y2 <= 2 - y1 - x3
      z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3;  z3 >= 0
      z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4;  z4 >= 0
      z3 <= My3
      z4 <= My4
      y3 + y4 + y5 = 1
      y6 <= y2
      y6 <= y5
      y6 <= b1
      y6 >= y2 + y5 + b1 - 2
      y7 >= y1
      y7 >= n3
      y7 <= y1 + n3
      z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8;  z8 >= 0
      z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9;  z9 >= 0
      z8 <= My8
      z9 <= My9
      y8 + y9 + y10 = 1
      y11 <= y7
      y11 <= y10
      y11 <= b2
      y11 >= y7 + y10 + b2 - 2
      y12 <= y1
      y12 <= n3
      y12 >= y1 + n3 - 1
      z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13;  z13 >= 0
      z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14;  z14 >= 0
      z13 <= My13
      z14 <= My14
      y13 + y14 + y15 = 1
      y16 >= y12
      y16 >= y15
      y16 >= b3
      y16 >= y12 + y15 + b3 - 2
      y6 + y11 + y16 >= 1
      y1, ..., y16, b1, b2, b3, n1, n2, n3 binary
      z3, z4, z8, z9, z13, z14 >= 0

这是有意义的：

c1==1

或

c2==2

或

c3==3

，第3条为真，且案例

c1=1

为最小可能。插入其他变量的值，我们可以看到所有三个约束都得到了满足。

混合整数规划（不是线性规划）是可能的，但很混乱。让我们从简单的开始：

约束2：

n1 + n2 = 1 - n3

b1 + b2 + b3 = 1  (if at most one of them is true then change = to <=)

约束3：

n1 + n2 = 1 - n3

b1 + b2 + b3 = 1  (if at most one of them is true then change = to <=)

y2:=y1-xor-n3-->（y2&&c1==2&&b1）|（y1或n3）&&c1==1&&b2）|（y1和n3）1&&c1==3&&b3）

y6:=y2&&y5&&b1-->y6 | |（（y1或n3）和&c1==1&&b2）|（（y1和n3）1和&c1==3和b3）

y10:=c1==1-->y6||（y7&&y10&&b2）|（y1和n3）1&&c1==3&&b3）

假设

1&&

是一个打字错误，实际上是

y12:=（y1和n3）-->y6 | | y11 | |（y12和&c1==3和&b3）

y16:=y12&&y15&&b3-->y6||y11|y16

y16 <= y12
y16 <= y15
y16 <= b3
y16 >= y12 + y15 + b3 - 2

y6 + y11 + y16 >= 1

我希望这有帮助。为了方便起见，我在下面提供了完整的数学模型

数学模型

      min c1 
s.t.  n1 + n2 = 1 - n3
      b1 + b2 + b3 = 1
      y1 >= 1 - (n1 + n2)
      y1 >= (n1 + n2) - 1
      y1 <= 2 - 2n1 +  n2
      y1 <= 2 - 2n2 + n1
      y2 <= y1 + x3
      y2 >= y1 - x3
      y2 >= x3 - y1
      y2 <= 2 - y1 - x3
      z3 >= c1 - 2 + epsilon*y3;  z3 >= 0
      z4 >= 2 - c1 + epsilon*y4;  z4 >= 0
      z3 <= My3
      z4 <= My4
      y3 + y4 + y5 = 1
      y6 <= y2
      y6 <= y5
      y6 <= b1
      y6 >= y2 + y5 + b1 - 2
      y7 >= y1
      y7 >= n3
      y7 <= y1 + n3
      z8 >= c1 - 1 + epsilon*y8;  z8 >= 0
      z9 >= 1 - c1 + epsilon*y9;  z9 >= 0
      z8 <= My8
      z9 <= My9
      y8 + y9 + y10 = 1
      y11 <= y7
      y11 <= y10
      y11 <= b2
      y11 >= y7 + y10 + b2 - 2
      y12 <= y1
      y12 <= n3
      y12 >= y1 + n3 - 1
      z13 >= c1 - 3 + epsilon*y13;  z13 >= 0
      z14 >= 3 - c1 + epsilon*y14;  z14 >= 0
      z13 <= My13
      z14 <= My14
      y13 + y14 + y15 = 1
      y16 >= y12
      y16 >= y15
      y16 >= b3
      y16 >= y12 + y15 + b3 - 2
      y6 + y11 + y16 >= 1
      y1, ..., y16, b1, b2, b3, n1, n2, n3 binary
      z3, z4, z8, z9, z13, z14 >= 0

这是有意义的：

c1==1

或

c2==2

或

c3==3

，第3条为真，且案例

c1=1

为最小可能。插入其他变量的值，我们可以看到所有三个约束都得到了满足。

我认为您可以通过在约束编程系统（如or）中表达来解决它。查看它们-有许多示例可以帮助您入门。

我认为您可以通过在约束编程系统（如or）中表达来解决它。查看它们-有许多示例可以帮助您开始。

您的问题似乎结构非常有限，因此解决方案应该更简单。显然c1必须是1、2或3

如果（（n1==n2或n3）&&b2）有溶液，则c1=1

否则，如果n1==n2（或n3）&&b1）有溶液，则c1=2

否则，如果（（n1==n2和n3）&&b3）有溶液，则c1=3。（原始问题中有一个拼写错误，带有一个虚假的1）

否则，就没有解决办法约束3很简单，因为b1、b2和b3中的每一个仅使用一次：

如果（n1==n2或n3）有溶液，则c1=1，b2=1，b1=b3=0

否则，如果（n1==n2 xor n3）有一个解，则c1=2，b1=1，b2=b3=0

否则，如果（n1==n2和n3）有溶液，则c1=3，b3=1，b1=b2=0

否则，就没有解决办法

约束2意味着可以从n1和n2计算n3:n3=非（n1和n2），所以您只需尝试n1和n2的四种组合，计算每种组合的n3，并检查这些条件。不需要线性规划或整数规划。

您的问题似乎结构非常有限，因此解决方案应该简单得多。显然c1必须是1、2或3