Optimization 使Maxima代码运行更快（收敛半径）

我试图找到一些泰勒级数的收敛半径，这些级数与应用于Mandelbrot集的牛顿方法有关。为此，我编写了一些Maxima代码；计算的

R

至少对于第一个注释的情况是不正确的（

1/inf

，而不是

1/2

），因此我试图打印一些值以查看它在数值上的行为。然而，Maxima花费了太多的时间（第一个值为1秒，第二个值为17秒，我放弃了等待第三个值）。第三种情况下的性能更慢。我怎样才能加快速度呢

f(c, z) := z^2 + c;
/* h(c) := f(c, f(c, 0)); /* simpler case is much faster */ */
h(c) := ratsimp(f(c, f(c, f(c, 0))) / f(c, 0)); /* polynomial with roots at period 3 components */
/* h(c) := ratsimp(f(c, f(c, f(c, f(c, 0)))) / f(c, f(c, 0))); /* next case is much slower */ */
hh(c) := ratsimp(diff(h(c), c));
N(z) := ratsimp(z - h(z) / hh(z)); /* Newton's method */
M(z) := ratsimp(subst(c = c + z, N(c)) - c); /* perturbed */
for ct in allroots(h(c) = 0) do
(
  print(ct),
  /* coefficient of Taylor series */
  a(n) := at(diff((subst(lhs(ct) = bfloat(rhs(ct)), M(z))), z, n) / factorial(n), z = 0),
  R : 1 / limit(abs(a(n+1)/a(n)), n, infinity), /* radius of convergence */
  print(R), /* prints 1/inf, but this is incorrect at least for the first commented case */
  print(bfloat(1 / abs(a(11)/a(10)))), /* prints after 1 second */
  print(bfloat(1 / abs(a(101)/a(100)))), /* prints after 17 seconds */
  print(bfloat(1 / abs(a(1001)/a(1000)))) /* gave up waiting */
);

< > > >编辑> <强>改正<代码>无穷大> /代码> VS>代码> INF混淆，请考虑第一个注释案例<代码> h（c）＝f（c，f（c，0））＝c^ 2＋c<／代码>。然后

M（z）=（z^2-h（c））/（2*z+2*c+1）

对于根

c=0

给出

M（z）=z^2/（1-（-2*z））

这是几何级数的和

z^2（1+（-2）*z+（-2）^2*z^2+…+（-2）^n z^n+…）

。现在系数

a（n）=（-2）^n

so

1/极限（abs（a（n+1）/a（n）），n，inf）

应该是

1/2

，但Maxima报告了一个除以零的值：

f(c, z) := z^2 + c;
h(c) := f(c, f(c, 0));
hh(c) := ratsimp(diff(h(c), c));
N(z) := ratsimp(z - h(z) / hh(z));
M(z) := ratsimp(subst(c = c + z, N(c)) - c);
for ct in solve(h(c) = 0) do
(
  print(ct),
  a(n) := at(diff((subst(lhs(ct) = bfloat(rhs(ct)), M(z))), z, n) / factorial(n), z = 0),
  invR : limit(abs(a(n+1)/a(n)), n, inf),
  print(abs(a(10+1)/a(10))),
  print(abs(a(100+1)/a(100))),
  print(abs(a(1000+1)/a(1000))),
  print(invR)
);

哪张照片

...
c = - 1 
`rat' replaced -1.0B0 by -1/1 = -1.0B0
`rat' replaced -1.0B0 by -1/1 = -1.0B0
2.0b0 
2.0b0 
2.0b0 
0 
c = 0 
`rat' replaced 1.0B0 by 1/1 = 1.0B0
`rat' replaced 1.0B0 by 1/1 = 1.0B0
2.0b0 
2.0b0 
2.0b0 
0 

---

我想用数值计算其他例子的高阶项，看看它是如何表现的，因为极限似乎没有正确计算。但我的Maxima代码太慢，无法实现这一点，虽然SymPy在第3周期（立方）情况下表现良好（见链接问题），但在第4周期（6度）中也需要太长时间。

嗨，克劳德，据我所知，Maxima似乎需要计算第n阶导数（和（n+1）阶导数）而这些衍生品正变得越来越复杂。也许你可以通过为一些小的n值打印出a（n+1）/a（n）来了解问题所在。看起来abs（a（n+1）/a（n））只是一个数字，所以至少最终结果很简单。也许在a（n）或a（n+1）/a（n）中有一种模式可以使计算abs（a（n+1）/a（n）变得容易。顺便说一句，极大值区分了复杂无限的

无穷大和真实无限的
inf
。对于实变量变为无穷大的极限，您需要
limit（…，inf）
@RobertDodier我已经用一个手工计算极限的工作示例更新了这个问题。