Performance 如何选择"；“最佳”；采样近似抛物线函数时的新点？

保证目标函数在插值范围

[a，b]

及其一阶和二阶导数内是有限的和连续的，并且在该范围内的最小值不超过一个（如果没有最小值，则是单调的）。该函数在插值范围内没有窄峰值，通常接近抛物线

y=a*x+b*x^2

（但不完全是抛物线）。请建议一种选择“最佳”新采样点（从点

a

和

b

开始）的迭代算法（和插值方法），用于构造插值函数，该插值函数在范围

[a，b]

的任何点以规定的相对精度逼近目标函数（至少以合理的概率计算）。函数的计算成本非常高，因此函数求值（采样点）的数量应该最小。同时，算法的复杂性并不重要。

切比雪夫插值在这里看起来非常有效，因为导数似乎减少得非常快（前提是你的函数确实是光滑的）。但是，没有关于如何使用Mathematica的任何线索。@Alexandre我的函数保证在插值范围内是连续可微的两倍。但是第一个（和main）问题的关键是选择用于评估目标函数的采样点。评估该函数的成本非常高，因此评估的数量（采样点）应该是最小的。同时，算法的复杂性并不重要。切比雪夫插值将为您提供样本点。它将非常有效（即，非常少的点将保证f和f'的良好近似，并且作为多项式近似，“几乎最优”），但你必须知道你的函数不止是C^2。切比雪夫插值在函数非常平滑时工作得非常好。@Alexandre看来，使用切比雪夫插值，我必须指定我不知道的最佳采样点的数量

n

（对于不同的函数，

n

将不同，以获得相同的插值精度）。更糟糕的是，使用不同的

n

我获得完全不同的点集（即，如果精度不足，我无法有效地重用已计算的点）.的确如此。我假设你可以满足于固定数量的分数。你打算如何衡量插值的质量？