Python 表2^i-1中数字的GCD

如何获得GCD（2^a[I]-1,2^a[j]-1）

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对于1，这些数字非常小。借助Python内置的bignum处理，它们完全可以使用欧几里德算法

分数。gcd

使用：

>>> fractions.gcd(2**50-1, 2**100-1)
1125899906842623L

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你的错误来自其他地方。当您尝试迭代10000个元素列表中的所有数字对时，甚至可能只是超时。有将近5000万对这样的情侣。取决于你得到的时间，你的算法可能太慢了。

这些数字非常小。借助Python内置的bignum处理，它们完全可以使用欧几里德算法

分数。gcd

使用：

>>> fractions.gcd(2**50-1, 2**100-1)
1125899906842623L

你的错误来自其他地方。当您尝试迭代10000个元素列表中的所有数字对时，甚至可能只是超时。有将近5000万对这样的情侣。取决于你所用的时间，你的算法可能太慢了。

考虑一下这个问题。如果两个操作数的形式均为2i-1，则可以对其进行大幅简化

首先，在第一步的末尾显然没有零，所以直接进入循环

在循环中，在减法中，有两个2i-1形式的数字，左手边比右手边大，因此减法只重置

y

中设置的低位，就像

x

中设置的低位一样，也就是说，减法相当于

y&=~x

。减法之后紧接着将

y

右移其中尾随的零的数量，因此您又有了一个形式为2i-1的数字，但

popcnt（x）

更短

从这一点可以明显看出，只有长度（即指数）才有意义，而身份
gcd（2a-1，2b-1）=2gcd（a，b）-1从中派生出来。

考虑一下这个问题。如果两个操作数的形式均为2i-1，则可以对其进行大幅简化

首先，在第一步的末尾显然没有零，所以直接进入循环

在循环中，在减法中，有两个2i-1形式的数字，左手边比右手边大，因此减法只重置

y

中设置的低位，就像

x

中设置的低位一样，也就是说，减法相当于

y&=~x

。减法之后紧接着将

y

右移其中尾随的零的数量，因此您又有了一个形式为2i-1的数字，但

popcnt（x）

更短

从这一点可以明显看出，只有长度（即指数）才有意义，而身份

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gcd（2a-1，2b-1）=2gcd（a，b）-1如下所示。

这里有一个简单的方法，你可以使用欧几里得算法来求解二的幂，而不需要实际计算它们：-

我们需要找到一个%b来使用GCD的欧几里德算法进行求解：-

a=2^x-1 b=2^y-1

a>b

我们需要表示a=k*b+m，其中m 假设k=2^（x-y）

2^x-1=2^（x-y）*（2^y-1）+m，m=2^（x-y）-1

因此

a%b=m=2^（x-y）-1

因此m又是二减一形式的类似幂，因此我们可以 对其应用欧几里德算法

进一步分析：-

a = 2^x-1
b = 2^y-1 

GCD(a,b) = F(x,y)

where 

F(x,y) = x         if x==y
F(x,y) = F(x-y,y)  if x > y
F(x,y) = F(x,y-x)  if y < x

From further analysis F(x,y) = GCD(x,y)

a=2^x-1
b=2^y-1
GCD（a，b）=F（x，y）
哪里
F（x，y）=x如果x==y
如果x>y，则F（x，y）=F（x-y，y）
如果y

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参考资料：-

这里有一个简单的方法，你可以使用欧几里德算法来求解二的幂，而不用实际计算它们：-

我们需要找到一个%b来使用GCD的欧几里德算法进行求解：-

a=2^x-1 b=2^y-1

a>b

我们需要表示a=k*b+m，其中m 假设k=2^（x-y）

2^x-1=2^（x-y）*（2^y-1）+m，m=2^（x-y）-1

因此

a%b=m=2^（x-y）-1

因此m又是二减一形式的类似幂，因此我们可以 对其应用欧几里德算法

进一步分析：-

a = 2^x-1
b = 2^y-1 

GCD(a,b) = F(x,y)

where 

F(x,y) = x         if x==y
F(x,y) = F(x-y,y)  if x > y
F(x,y) = F(x,y-x)  if y < x

From further analysis F(x,y) = GCD(x,y)

a=2^x-1
b=2^y-1
GCD（a，b）=F（x，y）
哪里
F（x，y）=x如果x==y
如果x>y，则F（x，y）=F（x-y，y）
如果y

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参考资料：-

@RC。我在寻找答案，因为它是2^i-1的一个特例，所以它不是一个重复的。你能显示你得到的错误的回溯吗？对不起，在线法官不会告诉我，我也找不到一个坏的案例。这里有一个模式。什么是

2^gcd（6,8）-1

？什么是gcd（2^6-1，2^8-1）？这不是重复的，至少不是那个问题。@RC。我在寻找答案，因为它是2^i-1的一个特例，所以它不是一个重复的。你能显示你得到的错误的回溯吗？对不起，在线法官不会告诉我，我也找不到一个坏的案例。这里有一个模式。什么是

2^gcd（6,8）-1

？什么是gcd（2^6-1，2^8-1）？这不是重复的，至少不是那个问题。

1<=T<=20
1<=ArraySize<=10^5
1<=a[i]<=100

>>> fractions.gcd(2**50-1, 2**100-1)
1125899906842623L

a = 2^x-1
b = 2^y-1 

GCD(a,b) = F(x,y)

where 

F(x,y) = x         if x==y
F(x,y) = F(x-y,y)  if x > y
F(x,y) = F(x,y-x)  if y < x

From further analysis F(x,y) = GCD(x,y)