Algorithm 我如何用数学归纳法证明合并是有效的？

这是我的网站的链接

我只是想帮助合并的第一个问题，并将自己做第二部分。我理解归纳法的第一部分是证明算法在最小情况下是正确的，即如果X为空，另一部分是如果Y为空，但我不完全理解如何证明归纳法的第二步：显示合并在输入大小为k+1的情况下是正确的

我以前对方程做过归纳，从来没有对算法做过归纳

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谢谢

第一个假设：您使用的合并例程将两个排序数组合并为一个排序数组。 第二个假设：合并例程终止

基本情况：n=1，1个元素的数组总是排序的 诱导性低血压：合并排序适用于n=1,2，…，k 感应阶跃：n=k+1 现在我们需要证明归纳步骤是正确的

合并排序将数组拆分为两个子数组L=[1，n/2]和R=[n/2+1，n]。根据以上事实，可以看到ceiln/2小于k。根据我们的归纳假设，L和R的合并排序结果都正确排序，因为它们在[1，k]范围内。此外，根据我们的假设，merge例程将它们合并到一个包含所有元素的排序数组中，因为sizeL+sizeR=n，这意味着它正确地排序了一个大小为n=k+1的数组

@编辑：对不起，读错了。对于合并部分：

这里我们将有一个多维归纳

假设：输入数组X，Y已经排序

基本情况：sizeX==0&&sizeY>=0=>返回Y | | sizeY==0&&sizeX>=0=>X，这是正确的，因为X和Y都已排序，并且将排序的数组与空数组合并会产生相同的非空数组 X上的归纳假设：merge适用于mergen，sizeY，其中n=1,2,3，…，k&&sizeY>=0 Y上的归纳假设：merge适用于mergesizeX，m，其中m=1,2,3，…，l&&sizeX>=0 感应跨步X:n=k+1 感应跨步Y:m=l+1 对于X上的第一个诱导步骤，除基本情况外，我们有2种情况：

X[1]X[1]⊕ mergetailX，Y=>这是正确的，因为mergek，sizeY是正确的，根据我们对X的假设，我们把较小的元素放在前面，所以我们保持顺序 X[1]>=Y[1]=>Y[1]⊕ mergeX，tailY=>这里我们有两个选项： SizeTaly=0=>我们遇到了一个基本情况，因此这个情况被证明是正确的 sizetailY>0=>我们进一步递归，最终到达基本情况或mergetailX，子数组，其中sizetailX=k=>由我们的归纳假设证明 类似地，对于Y上的感应步骤：

X[1]>=Y[1]=>Y[1]⊕ mergeX，tailY=>根据我们的假设，这是正确的mergesizex，l`是正确的，我们把较小的元素放在前面 X[1]X[1]⊕ mergetailX，Y=>这里我们有两个选项： sizetailX=0=>我们遇到了一个基本情况，因此这个情况被证明是正确的 sizetailX>0=>我们进一步递归，最终到达基本情况或合并子阵列，其中sizetailY=l=>由我们的归纳假设证明

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算法在每一步都会终止，因为我们将其中一个数组缩小1个元素，因此其中一个数组最终会达到我们的基本情况第一个假设：您使用的合并例程将两个排序数组合并为一个排序数组。 第二个假设：合并例程终止

基本情况：n=1，1个元素的数组总是排序的 诱导性低血压：合并排序适用于n=1,2，…，k 感应阶跃：n=k+1 现在我们需要证明归纳步骤是正确的

合并排序将数组拆分为两个子数组L=[1，n/2]和R=[n/2+1，n]。根据以上事实，可以看到ceiln/2小于k。根据我们的归纳假设，L和R的合并排序结果都正确排序，因为它们在[1，k]范围内。此外，根据我们的假设，merge例程将它们合并到一个包含所有元素的排序数组中，因为sizeL+sizeR=n，这意味着它正确地排序了一个大小为n=k+1的数组

@编辑：对不起，读错了。对于合并部分：

这里我们将有一个多维归纳

假设：输入数组X，Y已经排序

基本情况：sizeX==0&&sizeY>=0=>返回Y | | sizeY==0&&sizeX>=0=>X，这是正确的，因为X和Y都已排序，并且将排序的数组与空数组合并会产生相同的非空数组 X上的归纳假设：merge适用于mergen，sizeY，其中n=1,2,3，…，k&&sizeY>=0 Y上的归纳假设：merge适用于mergesizeX，m，其中m=1,2,3，…，l&&sizeX>=0 感应跨步X:n=k+1 感应跨步Y:m=l+1 对于X上的第一个诱导步骤，除基本情况外，我们有2种情况：

X[1]X[1]⊕ mergetailX，Y=>这是正确的，因为mergek，sizeY是正确的，根据我们对X的假设，我们把较小的元素放在前面，所以我们保持顺序 X[1]>=Y[1]=>Y[1]⊕ mergeX，tailY=>这里我们有两个选项： sizetaly=0=>我们就这样碰到了一个基本情况 这个案例被证明是正确的 sizetailY>0=>我们进一步递归，最终到达基本情况或mergetailX，子数组，其中sizetailX=k=>由我们的归纳假设证明 类似地，对于Y上的感应步骤：

X[1]>=Y[1]=>Y[1]⊕ mergeX，tailY=>根据我们的假设，这是正确的mergesizex，l`是正确的，我们把较小的元素放在前面 X[1]X[1]⊕ mergetailX，Y=>这里我们有两个选项： sizetailX=0=>我们遇到了一个基本情况，因此这个情况被证明是正确的 sizetailX>0=>我们进一步递归，最终到达基本情况或合并子阵列，其中sizetailY=l=>由我们的归纳假设证明

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算法在每一步都会终止，因为我们将其中一个数组变小1个元素，因此其中一个数组最终会达到我们的基本情况

我理解您对实际合并排序算法的回答，但我作业中的合并算法不是实际的，并且以不同的方式工作。答案不是L和R，而是它们在[1，k]的范围内，因为每次迭代都会将一个数组的尾部与另一个数组合并？@Ugluk抱歉，在第一次能量饮料之前发布是不好的。现在呢？我真的没有读你的答案，但我很感谢你的努力，发布了这样一个格式良好的答案：D做得好；我理解你对实际合并排序算法的回答，但我作业中的合并算法不是实际的，并且以不同的方式工作。答案不是L和R，而是它们在[1，k]的范围内，因为每次迭代都会将一个数组的尾部与另一个数组合并？@Ugluk抱歉，在第一次能量饮料之前发布是不好的。现在呢？我真的没有读你的答案，但我很感谢你的努力，发布了这样一个格式良好的答案：D做得好；你的家庭作业链接不再有效。你能把问题贴在这里吗？你的家庭作业链接不再起作用了。你能把问题贴在这里吗？