Python 香农的导数是什么；熵？

我有以下简单的python函数，根据Shannon的信息理论计算单个输入X的熵：

import numpy as np

def entropy(X:'numpy array'):
  _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
  probabilities  = frequencies/X.shape[0]
  return -np.sum(probabilities*np.log2(probabilities))

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"entropy(a): {entropy(a)}")
print(f"entropy(b): {entropy(b)}")
print(f"entropy(c): {entropy(c)}")

输出如下：

entropy(a): 1.4591479170272446
entropy(b): 1.0
entropy(c): -0.0

但是，我还需要计算

dx

上的导数：

d熵/dx

这不是一项容易的任务，因为主要公式

-np.sum（概率*np.log2（概率））

采用

概率

，而不是

x

值，因此不清楚如何区分

dx

---

有人知道怎么做吗？

解决这个问题的一种方法是用数值计算导数

在这种情况下，我们可以定义一个小常数来帮助我们计算数值导数。此函数接受一个单参数函数，并计算其对输入

x

的导数：

ε = 1e-12
def derivative(f, x):
    return (f(x + ε) - f(x)) / ε

为了使我们的工作更容易，让我们定义一个计算熵最内部运算的函数：

def inner(x):
    return x * np.log2(x)

回想一下，总和的导数就是导数之和。因此，实导数计算发生在我们刚刚定义的

内部

函数中

熵的数值导数是：

def numerical_dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([derivative(inner, p) for p in probabilities])

我们能做得更好吗？我们当然可以！这里的关键观点是产品规则：

（fg）'=fg'+gf'

，其中

f=x

和

g=np.log2（x）

。（还要注意

d[log_a（x）]/dx=1/（x ln（a））

）

因此，分析熵可以计算为：

import math
def dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([(1/math.log(2, math.e) + np.log2(p)) for p in probabilities])

使用样本向量进行测试，我们有：

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"numerical d[entropy(a)]: {numerical_dentropy(a)}")
print(f"numerical d[entropy(b)]: {numerical_dentropy(b)}")
print(f"numerical d[entropy(c)]: {numerical_dentropy(c)}")

print(f"analytical d[entropy(a)]: {dentropy(a)}")
print(f"analytical d[entropy(b)]: {dentropy(b)}")
print(f"analytical d[entropy(c)]: {dentropy(c)}")

在执行时，我们可以：

numerical d[entropy(a)]: 0.8417710972707937
numerical d[entropy(b)]: -0.8854028621385623
numerical d[entropy(c)]: -1.4428232973189605
analytical d[entropy(a)]: 0.8418398787754222
analytical d[entropy(b)]: -0.8853900817779268
analytical d[entropy(c)]: -1.4426950408889634

torch entropy: 1.4591479301452637
torch derivative: 0.8418397903442383
torch entropy: 1.0
torch derivative: -0.885390043258667
torch entropy: -0.0
torch derivative: -1.4426950216293335

作为奖励，我们可以使用库测试这是否正确：

这给了我们：

numerical d[entropy(a)]: 0.8417710972707937
numerical d[entropy(b)]: -0.8854028621385623
numerical d[entropy(c)]: -1.4428232973189605
analytical d[entropy(a)]: 0.8418398787754222
analytical d[entropy(b)]: -0.8853900817779268
analytical d[entropy(c)]: -1.4426950408889634

torch entropy: 1.4591479301452637
torch derivative: 0.8418397903442383
torch entropy: 1.0
torch derivative: -0.885390043258667
torch entropy: -0.0
torch derivative: -1.4426950216293335

---

你可能会找到你的答案，或者（这是互联网搜索的结果；我不是这方面的专家）。@anatolyg感谢你的回答，遗憾的是，没有一个链接提供答案，第一个讨论如何找到最大熵，第二个是相对于

p

（超过

d概率

）。