如何在Python中实现计算圆环体上任意两点之间欧氏距离的函数

给定一个10x10网格（2d数组），随机填充数字，

0、1

或

2

。在考虑周期边界的情况下，如何找到两个给定点之间的欧几里德距离（距离向量的l2范数）

让我们考虑一个任意的网格点，叫做<代码>中心< /代码>。现在，我想找到与

中心
值相同的最近的网格点。我需要考虑周期性边界，这样矩阵/网格可以被看作是一个圆环体而不是一个平面。在这种情况下，假设
中心=矩阵[0,2]
，我们发现
矩阵[9,2]
中有相同的数字，它将位于矩阵的南部边界。使用我的代码计算的欧几里德距离在本例中为
np.sqrt（0**2+9**2）=9.0
。然而，由于周期性边界，距离实际上应该是
1
，因为
矩阵[9,2]
是
矩阵[0,2]
的北部邻居。因此，如果正确执行周期性边界值，则不应存在大于8级的距离

因此，我感兴趣的是如何在Python中实现一个函数，通过对边界应用环绕来计算圆环体上任意两点之间的欧几里德距离

import numpy as np

matrix = np.random.randint(0,3,(10,10))
centre = matrix[0,2]

#rewrite the centre to be the number 5 (to exclude itself as shortest distance)
matrix[0,2] = 5

#find the points where entries are same as centre
same = np.where((matrix == centre) == True)
idx_row, idx_col = same

#find distances from centre to all values which are of same value 
dist = np.zeros(len(same[0]))
for i in range(0,len(same[0])):
    delta_row = same[0][i] - 0 #row coord of centre
    delta_col = same[1][i] - 2 #col coord of centre
    dist[i] = np.sqrt(delta_row**2 + delta_col**2)

#retrieve the index of the smallest distance
idx = dist.argmin() 
print('Centre value: %i. The nearest cell with same value is at (%i,%i)' 
      % (centre, same[0][idx],same[1][idx]))

对于每个轴，可以检查环绕或不环绕时距离是否较短。考虑行轴，用行<代码> i < /代码>和<代码> j< /代码> ./p>

当不环绕时，区别是abs（i-j）

环绕时，差异被“翻转”，如
10-abs（i-j）
。在使用
i==0
和
j==9
的示例中，您可以检查这是否正确地生成了1的距离

然后只需取较小者：

delta_row = same[0][i] - 0 #row coord of centre
delta_row = min(delta_row, 10 - delta_row)

对于
delta_列
也是如此

最后的
dist[i]
计算不需要更改。
我有一个工作的“草图”，说明这是如何工作的。简言之，我计算了9次距离，1次为正常距离，8次偏移可能会修正更近的“圆环”距离

随着
n
越来越大，随着数字的增加，计算成本可能会越来越高。但是，可能不需要环面效应，因为附近总是有一个点没有“环绕”

您可以很容易地对此进行测试，因为对于大小为1的栅格，如果发现距离为1/2或更近的点，您知道没有更近的圆环点（对吗？）

我创建10000x1000点，并将1的位置存储在
ONES
中

ONES = np.argwhere(A == 0)

现在我定义了环面距离，这是在尝试9个镜像中哪一个是最近的

def distance_on_torus( point=[500,500] ):
    index_diff = [[1],[1],[0],[0],[0,1],[0,1],[0,1],[0,1]]
    coord_diff = [[-1],[1],[-1],[1],[-1,-1],[-1,1],[1,-1],[1,1]]
    
    tree = BallTree( ONES, leaf_size=5*n, metric='euclidean')
    
    dist, indi = tree.query([point],k=1, return_distance=True )

    distances = [dist[0]]

    for indici_to_shift, coord_direction in zip(index_diff, coord_diff):
        MIRROR = ONES.copy()
        for i,shift in zip(indici_to_shift,coord_direction):
            MIRROR[:,i] = MIRROR[:,i] + (shift * n)

        tree = BallTree( MIRROR, leaf_size=5*n, metric='euclidean')
        dist, indi = tree.query([point],k=1, return_distance=True )
        
        distances.append(dist[0])
        
    
    return np.min(distances)

速度很慢，上面的过程需要15分钟。。。。对于
n=1000
小于一秒


优化是首先考虑无环面距离，如果最小距离可能不是最小的，则只计算最小的一组额外的“块”。这将大大提高速度。
如果x和y边界分别“环绕”到另一侧，则它在拓扑上不是球体，而是圆环体。在一个球体上，整个顶部边缘将被视为同一点，即北极，同样，底部边缘也被视为同一点。此外，球体上不存在欧几里德距离。欧几里德距离定义为平面（或高维或低维欧几里德空间）。对不起，我的错误，我指的是圆环。只是相应地编辑了问题。关于欧几里德距离，我的意思是我对差分向量的l2范数感兴趣。谢谢你澄清@Thomas，我相信其中一个非常相似。循环性符合你的条件是正确的吗？@user3184950谢谢你的链接，我之前查看过那篇文章，但我无法完全理解内容和想法，这可能不是我所需要的。不过，那篇文章中的循环边界条件符合我的需要。然而，在我的例子中，我需要为每个指定的数字找到相同类型的最近邻，交换彼此的值，然后再次执行相同的循环。我将尝试下面的答案，看看瓶颈会有多严重。谢谢你的建议。我最初正试图实现这一点，但后来应用此过程时，网格的大小实际上是1000x1000甚至10000x1000。正因为如此，我担心这会导致瓶颈，所以我在考虑如何在不检查哪一个较短的情况下实现此环绕。您认为，这种方法会显著降低性能吗？如果它成为瓶颈，您可能会更改代码以使用更多矢量化。但是（取决于您的数据），我认为真正的性能改进将来自于不搜索所有这些1亿个元素以找到最接近的单个元素；相反，你可以在一个圆形或螺旋形中进行搜索，直到找到匹配的元素。我需要在包含该特定值的每个单元格上循环，这是不可避免的，但实际上我不需要计算所有的距离，我只需要找到同一类型中最近的一个。因此，在圆周运动中搜索可能更有效，因为我可以在找到一条后续注释后立即停止：我实现了这种方法，并运行了10次代码，粗略估计了100x100网格的例行程序所需的时间。与我采用随机选择的实现相比，完成相同的计算所花费的时间大约要长5倍。
def distance_on_torus( point=[500,500] ):
    index_diff = [[1],[1],[0],[0],[0,1],[0,1],[0,1],[0,1]]
    coord_diff = [[-1],[1],[-1],[1],[-1,-1],[-1,1],[1,-1],[1,1]]
    
    tree = BallTree( ONES, leaf_size=5*n, metric='euclidean')
    
    dist, indi = tree.query([point],k=1, return_distance=True )

    distances = [dist[0]]

    for indici_to_shift, coord_direction in zip(index_diff, coord_diff):
        MIRROR = ONES.copy()
        for i,shift in zip(indici_to_shift,coord_direction):
            MIRROR[:,i] = MIRROR[:,i] + (shift * n)

        tree = BallTree( MIRROR, leaf_size=5*n, metric='euclidean')
        dist, indi = tree.query([point],k=1, return_distance=True )
        
        distances.append(dist[0])
        
    
    return np.min(distances)

%%time

distance_on_torus([2,3])