使用python求解非方矩阵a的Ax=b

我关注的是一种特殊情况，

A

是一个nxd矩阵（其中knumpy提供的工具，但是它们只适用于方阵。我有一种方法，用一些线性无关的向量填充矩阵，将其“平方”，然后求解，但我不知道如何选择这些向量，使它们与基向量线性无关，另外，我认为这不是唯一的方法，我缺少一些可以使这更容易的方法。

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真的有比我提到的更简单的方法吗？如果不是，我该如何选择那些将

A

变成方阵的向量呢？

如果你的方程少于未知数（假设你想键入n

• 首先，使用求奇异值分解，它由三个矩阵U S V^T组成。然后你可以从V[diag（1/s_j）]U^T得到A的伪逆，这给了你一个解
• 您的最终解决方案将是您找到的一个解决方案，加上A的零空间基向量的线性组合
• 为了找到A的零空间基向量，从矩阵V中提取对应于零矩阵s中奇异值s_j（或低于某个“小”阈值）的列j

在Python中，使用for循环和if语句可以很容易地实现最后一点，最重要的是分解本身。Press等人的优秀著作涵盖了第2章中的线性代数（C和C语言中的数字公式的免费版本）。他们对SVD进行了精彩的介绍，解释了SVD的理论以及如何将其转化为算法（主要关注如何使用SVD的结果）。它们提供了一个SVD对象，它的功能比前面提到的要多，但核心功能是实际的分解，而获取nullspace基向量等操作只是为了循环和在U、S和V上运行的if语句。正如你提到的，需要一个满秩平方矩阵

对于所有其他线性情况，如果您对

min | | Ax-b | | ^2.

（您可能是）感兴趣，可以使用

通过计算使欧几里得2-范数| | | b-a x | | ^2最小化的向量x来求解方程a x=b

方程可能是欠定、良好或过度确定的（即，a的线性独立行数可以小于、等于或大于其线性独立列数）。如果a是平方且为满秩，则x（但对于舍入误差）是方程的“精确”解

（我用粗体标注）

原始

np.linalg.solve

的文档中也提到了这一点：

a必须是正方形且为满秩，即所有行（或等效列）必须是线性独立的；如果其中一个不正确，则使用lstsq获得系统/方程的最小二乘最佳“解”

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np.linalg.solve

？仅适用于方阵：这对您没有帮助吗

A_-pinv=np.linalg.pinv（A）

x=np.dot（A_-pinv，B）你能澄清一下伪逆是如何给我一个解决方案的吗？另外，我匆忙忘记了提到A的行是正交的。另外，如果我有无限多的解，我如何才能找到满足给定约束的解（如果有的话）。你可以使用a的伪逆找到一个解，就像你使用a的逆：X=伪逆（a）*B一样。如果a已经是行正交的，那么算法会更容易，但是你必须修改SVD算法本身。SVD算法可能相当复杂，因此最好坚持使用Numpy实现并牺牲任何潜在的节省。关于第二个问题，SVD可以告诉你矩阵是否奇异（如果所有奇异值都为零，那么你的矩阵就是奇异的&你有无限多的解）。但它肯定不能解决在约束条件下求解线性系统的问题-你可能想要在包中包含一些东西。你能不能发布一个小例子，让我们把它变得更具体一点？如果我想要解决方案满足给定的不等式，比如所有系数都应该为正？gota，那么你需要约束优化方法，它们更复杂。由于不再有封闭形式的解，所有这些都是迭代的。scipy.optimize有一些候选项，具体取决于任务。在var下界的情况下：optimize.nnls（密集、小）或自定义的optimize.minimize（method='L-BFGS-B'）和bounds。