Python 求包含指数和包含大量数的除法的余数模

我需要一个快速算法来评估以下内容

((a^n-1)/(a-1)) % p

a

和

n

几乎相等，但小于10^6，

p

是一个固定素数（假设

p=1000003

）。我需要在1秒之内计算出来。我正在使用python。Wolfram Mathematica。使用以下代码需要35.2170000076秒

print (((10**6)**(10**6)-1)/((10**6)-1))%1000003

如果分母

a-1

不存在，我可以将幂分成更小的顺序，并使用关系

a*b（mod c）=（a（mod c）*b（mod c））（mod c）

，但分母存在

如何使用快速算法对此进行评估？没有可用的numpy/scipy

更新：：这是我最后的代码

def exp_div_mod(a, n, p):
    r = pow(a, n, p*(a-1)) - 1
    r = r - 1 if r == -1 else r
    return r/(a-1)

（（a**n）-1）/（a-1））%p

可以重写为

（（a**n）-1）%（（a-1）*p））/（a-1）

本部分：

（（a**n）-1%（（a-1）*p））

可以通过计算以下各项来计算：

（（a**n）%（（a-1）*p））

然后再调整为-1

将a提高到N次方，将mod提高（（a-1）*p）。这可以使用Python pow（）函数完成。然后调整-1并除以a-1

使用pow（）函数并传递一个模值比计算完整指数然后取模要快，因为模可以应用于计算的每个阶段的部分积，从而防止值变得过大（106到106的幂有600万个十进制数字，在每一步应用一个模，值的增长永远不必大于模的大小-在本例中约为13位）

代码：

输出：

444446

注：此方法仅在a、n和p为整数时有效。

可以乘以

p-1

。根据费马的小定理，可以得到xp-2·x≡ xp-1≡ 1（mod p）表示所有0pow函数：

(pow(a, n, p) - 1) * pow(a - 1, p - 2, p) % p

该算法具有时间复杂度（an−1） /（a）−1） 是从i=0到n的和−1.人工智能

计算后一个mod p很简单，基于以下内容：

设F（a，n）为∑（i=0..n-1）{ai}如果n>0，否则为0

现在：

F（a，n）=a×F（a，n−1） +1

F（a，2n）=（a+1）×F（a2，n）

第二个恒等式是分治递归

由于这两个都只涉及加法和乘法，我们可以通过分配模运算来计算它们mod p，而不需要大于a×p的整数类型（见下面的代码）

通过第一次递归，我们可以编写迭代解决方案：

def sum_of_powers(a, n, p):
  sum = 0
  for i in range(n): sum = (a * sum + 1) % p
  return sum

同样使用分治递归，我们得到了一些不太复杂的东西：

def sum_of_powers(a, n, p):
  if n % 2 == 1:
    return (a * sum_of_powers(a, n-1, p) + 1) % p
  elif n > 0:
    return ((a + 1) * sum_of_powers(a * a % p, n // 2, p)) % p
  else:
    return 0

---

---

第一个解在不到一秒钟的时间内返回，n==106。第二个解立即返回，即使n大到109。

你可以用它来求逆

1/（a-1）mod p

；然后应用您编写的最后一个标识。@hiroprotation我会尝试让您知道。该模块有一个可以计算模逆的函数：

gmpy.divm

“返回x，这样b*x==模m，或者如果不存在这样的值x，则引发ZeroDivisionError异常”使用

a

，

n

和

p

就像在OP中一样，

（pow（a，n，p）-1）*gmpy.divm（1，a-1，p）%p

返回444446。当然，如果你像samgak的回答那样做了一点代数，gmpy是不必要的。：

r=r-1如果r=-1，那么更新中的r

是错误的。很好！但是您不需要这个循环：内置Python

pow

函数将模数作为可选的第三个参数。所以你可以做

m=p*（a-1）；x=（（pow（a，n，m）-1）%m）/（a-1）

@NiklasB.：为什么它不起作用？请注意，

（（a**n）-1）/（a-1）

是一个整数（几何级数之和）。设

q/b

为整数，其中

q/b=k*p+r

。然后

q=k*（p*b）+（r*b）

@NiklasB。FWIW，我刚刚用

（a**n-1）/（a-1））%p测试了samgak的算法，随机选择了10000个1返回（pow（a，n，m）-1）%m/（a-1）

，但这只是偏好的问题我想你是说

a-1

，而不是

p-1

。嗨，我不明白你的第一种方法，你能为它写些数学题吗？我知道费马定理，但在它之后，你可以用模逆x^（-1）乘以一个数x除以模素数。通常你会使用扩展的欧几里德算法来计算逆，但在素数模的情况下，逆是x^（p-2），由于费马理论，我理解另一个答案，但我仍然不能从数学上得到它。由于费马，x是x^（p-2）的模逆，但这是怎么回事？遗憾的是，我们不能在这里使用乳胶，就像……你能不使用循环吗？在一个循环中求100万左右模幂的和不是很快。@PM2Ring有一个技巧，将奇数项和偶数项分开，然后重用偶数和来计算O（1）中奇数项的和，生成一个只使用O（logn）加法和multiplications@pm2ring：如果将^i%p起始时间与i=0相加，每个术语“仅”需要一个乘法和一个模（通过利用前一术语的值）；你永远不需要计算幂。在现代硬件上，一百万次这样的计算可以在一秒钟内轻松完成。但NiklasB的建议是更公平的faster@NiklasB. 有趣！我想我看到了分而治之的方法在O（logn）中是如何工作的了。@rici相信我，在我把答案贴在这里之前，我试过这个方法。我考虑了Nicholas B提出的方法，但发现太多，无法编写代码。

def sum_of_powers(a, n, p):
  if n % 2 == 1:
    return (a * sum_of_powers(a, n-1, p) + 1) % p
  elif n > 0:
    return ((a + 1) * sum_of_powers(a * a % p, n // 2, p)) % p
  else:
    return 0