Python中的对角矩阵指数

我在写一个考虑速度的数值算法。我在scipy/numpy中遇到了两个矩阵指数函数（scipy.linalg.expm2，scipy.linalg.expm）。然而，我有一个矩阵，我知道它是对角的。这些scipy函数在运行之前是否检查矩阵是否为对角线？显然，对于对角线矩阵，求幂算法可以快得多，我只是想确保它们在这方面做得很聪明-如果不是，有没有一种简单的方法呢？

如果一个矩阵是对角线的，那么它的指数可以通过对主对角线上的每个条目求幂得到，因此，您可以通过以下公式进行计算：

np.diag(np.exp(np.diag(a)))

---

如果您知道A是对角的，并且需要k次方：

def dpow(a, k):
    return np.diag(np.diag(a) ** k)

检查矩阵是否为对角矩阵：

def isdiag(a):
    return np.all(a == np.diag(np.diag(a)))

因此：

类似地，对于指数（可以从一组pow的展开式中获得），可以：

def dexp(a, k):
    return np.diag(np.exp(np.diag(a)))

def exp(a, k):
    if isdiag(a):
        return dexp(a, k)
    else:
        #use scipy.linalg.expm2 or whatever

d2 = np.ones_like(d); 
diagonal(d2)[:] = np.exp(np.diag(d))

print (d2==np.exp(d)).all()  # True

---

我已经开发了一个工具，可以帮助更快地执行与HYRY相同的操作，但通过就地执行：

def diagonal(array):
    """ Return a **view** of the diagonal elements of 'array' """
    from numpy.lib.stride_tricks import as_strided
    return as_strided(array,shape=(min(array.shape),),strides=(sum(array.strides),))

# generate a random diagonal array
d  = np.diag(np.random.random(4000))

# in-place exponent of the diagonal elements
ddiag = diagonal(d)
ddiag[:] = np.exp(ddiag)

# timeit comparison with HYRY's method
%timeit -n10 np.diag(np.exp(np.diag(d)))   
    # out> 10 loops, best of 3: 52.1 ms per loop
%timeit -n10 ddiag = diagonal(d); ddiag[:] = np.exp(ddiag)
    # out> 10 loops, best of 3: 108 µs per loop

现在,

• HYRY的方法是二次w.r.t对角线长度（可能是因为新的数组内存分配），因此如果矩阵的维数很小，差异可能不会那么大

• 您需要对就地计算感到满意

• 最后，非对角元素是0，所以它们的指数应该是1，不是吗？在我们的两种方法中，非对角线都是0

对于最后一部分，如果希望所有非对角元素都为1，则可以执行以下操作：

def dexp(a, k):
    return np.diag(np.exp(np.diag(a)))

def exp(a, k):
    if isdiag(a):
        return dexp(a, k)
    else:
        #use scipy.linalg.expm2 or whatever

d2 = np.ones_like(d); 
diagonal(d2)[:] = np.exp(np.diag(d))

print (d2==np.exp(d)).all()  # True

但这是线性的w.r.t到数组大小，所以二次的w.r.t到对角线长度。对于4000x4000阵列，时间为90毫秒；对于2000x2000阵列，时间为22.3毫秒

最后，您还可以在适当的位置执行此操作以获得一点速度：

diag = np.diag(d)
d[:]=1
diagonal(d)[:] = np.exp(diag)

---

Timeit为4000^2数组提供了66.1ms，为2000^2数组提供了16.8ms，我认为

scipy.sparse

对对角矩阵有一些特殊的支持（存储为只包含对角线的一维数组）。你的

isdiag

不起作用；或者，更确切地说，

如果isdiag（a）

不会，因为它返回一个布尔数组。您需要添加一个

.all（）

。[我不知道是否有一种更有效的内置方法来测试矩阵是否为对角矩阵，但这不会让我感到惊讶。]如何得到“指数相同？”这不是一回事。。。我想要的是k^a（特别是e^a），而不是a^k。只是让我的答案更精确。难道没有更有效的方法来测试对角性吗？固定收益；你认为什么是对角性测试？非对角元素是不正确的。np.exp（0）应为1。这里是0，我想Doug想要的是矩阵的指数函数，而不是数组中每个元素的指数。对于对角矩阵，在对角线上恰好是相同的。