Python 计算FFT振幅的不确定度

我的编程问题如下：

我想创建一个测量结果数组。每个结果都可以描述为正态分布，其平均值为测量结果本身，标准偏差为其不确定度

伪代码可以是：

x1 = N(result1, unc1)
x2 = N(result2, unc2)
...

x = array(x1, x2, ..., xN)

然后我想计算x的：

我想要的是，x中包含的测量不确定度通过FFT计算传播，因此f是振幅阵列及其不确定度，如下所示：

f = (a +/- unc(a), b +/- unc(b), ...)

---

你能给我一个方法吗？

通过离散傅里叶变换计算的每个傅里叶系数 数组的

x

是

x

元素的线性组合；看见 上X_k的公式， 我会把它写成

X_k = sum_(n=0)^(n=N-1) [ x_n * exp(-i*2*pi*k*n/N) ]

（也就是说，

X

是

X

的离散傅里叶变换） 如果x_n是正态分布，平均μn和方差σn**2， 然后一点代数表明X_k的方差是和 x_n的方差

Var(X_k) = sum_(n=0)^(n=N-1) sigma_n**2

换句话说，每个傅里叶系数的方差是相同的； 它是

x

中测量值的方差之和

使用您的符号，其中

unc（z）

是

z

的标准偏差

unc(X_0) = unc(X_1) = ... = unc(X_(N-1)) = sqrt(unc(x1)**2 + unc(x2)**2 + ...)

（请注意，X_k的大小分布是相同的。）

下面是一个演示此结果的脚本。在本例中，标准

x

值的偏差从0.01线性增加到0.5

import numpy as np
from numpy.fft import fft
import matplotlib.pyplot as plt


np.random.seed(12345)

n = 16
# Create 'x', the vector of measured values.
t = np.linspace(0, 1, n)
x = 0.25*t - 0.2*t**2 + 1.25*np.cos(3*np.pi*t) + 0.8*np.cos(7*np.pi*t)
x[:n//3] += 3.0
x[::4] -= 0.25
x[::3] += 0.2

# Compute the Fourier transform of x.
f = fft(x)

num_samples = 5000000

# Suppose the std. dev. of the 'x' measurements increases linearly
# from 0.01 to 0.5:
sigma = np.linspace(0.01, 0.5, n)

# Generate 'num_samples' arrays of the form 'x + noise', where the standard
# deviation of the noise for each coefficient in 'x' is given by 'sigma'.
xn = x + sigma*np.random.randn(num_samples, n)

fn = fft(xn, axis=-1)

print("Sum of input variances: %8.5f" % (sigma**2).sum())
print()
print("Variances of Fourier coefficients:")
np.set_printoptions(precision=5)
print(fn.var(axis=0))

# Plot the Fourier coefficient of the first 800 arrays.
num_plot = min(num_samples, 800)
fnf = fn[:num_plot].ravel()
clr = "#4080FF"
plt.plot(fnf.real, fnf.imag, 'o', color=clr, mec=clr, ms=1, alpha=0.3)
plt.plot(f.real, f.imag, 'kD', ms=4)
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.title("Fourier Coefficients")
plt.xlabel("$\Re(X_k)$")
plt.ylabel("$\Im(X_k)$")
plt.show()

打印输出为

Sum of input variances:  1.40322

Variances of Fourier coefficients:
[ 1.40357  1.40288  1.40331  1.40206  1.40231  1.40302  1.40282  1.40358
  1.40376  1.40358  1.40282  1.40302  1.40231  1.40206  1.40331  1.40288]

正如预期的那样，傅里叶系数的样本方差为 所有（近似）与测量方差之和相同

下面是脚本生成的情节。黑钻石是最好的 单个

x

向量的傅里叶系数。蓝色的圆点是蓝色的

x+噪声的800次实现的傅里叶系数

。你可以看到 每个傅里叶系数周围的点云大致对称 和所有相同的“尺寸”（当然，除了真正的系数， 在该图中显示为实轴上的水平线）

---

我不确定您是否能利用提供的数据实现自己的目标。当然你们可以对均值进行FFT，但对偏差进行FFT对我来说并没有意义。我不确定如何转换数据使其有意义。如果

x

值不相关，则fft高频部分的不确定性将毫无意义（无限不确定性）。事实上，取决于

x

中的值和不确定度，fft的不确定度可能没有意义。fft取决于相邻值之间的差值。当前表示未污染的方式是，每个值完全独立于相邻值。我不认为你想做什么有一个解析解。你可以引导它，但我不确定结果会有多大意义。嗯，我的直觉完全错了。那会教我不经深思熟虑就直言不讳！回答得很好！我花了一段时间来说明这一点，因为我想明确一点：

ax

方差的最一般形式不是

（ax）^2

，而是

（ax）（ax）*

，其中*表示复共轭。当

ax

是真的时，这并不是一个问题，但在这里它很复杂，而且它是一个非常重要的区别。

Sum of input variances:  1.40322

Variances of Fourier coefficients:
[ 1.40357  1.40288  1.40331  1.40206  1.40231  1.40302  1.40282  1.40358
  1.40376  1.40358  1.40282  1.40302  1.40231  1.40206  1.40331  1.40288]