Python 具有挑战性的动态规划问题

这是一个我需要解决的计算机视觉问题的缓和版本。假设给定了参数n，q，并且必须计算将整数0..（q-1）赋值给n×n网格元素的方法的数量，以便对于每个赋值，以下都是真的

没有两个邻居（水平或垂直）获得相同的值

位置（i，j）处的值为0

位置（k，l）处的值为0

因为没有给出（i，j，k，l），所以输出应该是上面的一组求值，对于（i，j，k，l）的每个有效设置一个求值

下面是一种暴力手段。我们的目标是得到一个适用于q0 else-1的高效算法 右=网格[r][c-1]，如果c 0，则为-1 底部=网格[r+1][c]，如果r 更新11/11

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我也在TopCoder上问过这个问题，他们的解决方案是我迄今为止看到的最有效的解决方案（根据作者的估计，对于n=10，任意q，大约3个小时）

这不是一个答案，只是对讨论的贡献，讨论太长，无法发表评论

tl；博士任何归结为“计算可能性并计算它们”的算法，如Eric Lippert的算法或蛮力方法，都无法实现@Yaroslav的

q=4

目标。从芥末柱的顶部单元格开始。我们只需要担心bread列的相邻单元格，它们最多有2个唯一值。为芥末色列选择第三个数字。考虑芥菜柱的第二个细胞。我们必须考虑以前的芥菜细胞和2个相邻的面包细胞，总共有最多3个独特的值。选择第四个值。继续填写芥末栏

我们最多有2列包含硬编码单元格0。因此，使用芥末柱，我们可以制作至少6个面包柱，每个面包柱大约有

10^36

个解，总共至少有

10^216

个有效解，给或取一个数量级的舍入误差

根据维基百科，宇宙中大约有10^80个原子

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因此，要更聪明。

也许这听起来太简单了，但它确实有效。将值随机分布到所有单元格，直到只有两个单元格为空。测试所有值的邻接性。计算成功转换与所有转换的平均百分比，直到差异降至可接受的范围内

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风险为零，处于风险中的只是一点运行时间。

我正在根据Dave Aaron Smith对讨论的贡献构建一个贡献

现在不要考虑最后两个约束（<代码>（i，j）< /代码>和<代码>（k，l）< /代码>）。

只有一列（nx1）的解决方案是

q*（q-1）^（n-1）

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第二列有多少个选项<代码>（q-1）用于顶部单元格（1,2），但如果（1,2）/（2,1）具有或不具有相同的颜色，则该单元格（2,2）的

q-1

或

q-2

（3,2）也是一样：

q-1

或

q-2

解决方案

我们可以看到，我们有一个可能性的二叉树，我们需要在这棵树上求和。让我们假设左边的子对象总是“顶部和左侧的颜色相同”，右边的子对象是“不同的颜色”

通过在树上计算左列创建这种配置的可能性数量，以及我们正在着色的新单元的可能性数量，我们将计算两列着色的可能性数量

但是现在让我们考虑第二列着色的概率分布：如果我们想迭代这个过程，我们需要在第二列上有均匀的分布，这就像第一个颜色不存在一样，在前两列的所有颜色中，我们可以说

1/q

其中的第二列的顶部单元格中有颜色0

没有统一的分布，这是不可能的

问题是：分布是否均匀

回答： 通过构建第一列、第二列、第一列和第三列，我们可以得到相同数量的解。在这种情况下，第二列的分布是均匀的，因此在第一种情况下也是如此

我们现在可以应用相同的“树思想”来计算第三列的可能性数量

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我将尝试在此基础上发展并建立一个通用公式（因为树的大小为2^n，我们不想明确探讨它）。

一些观察结果也可能有助于其他回答者：

值1..q是可互换的-它们可以是字母，结果相同

没有邻居能与之匹敌的限制是非常温和的，因此暴力手段将过于昂贵。即使您知道除了一个单元格以外的所有单元格中的值，对于q>8，仍然存在至少q-8的可能性

它的输出将相当长——每一组i，j，k，l都需要一条线。组合的数量类似于n2（n2-3），因为两个固定零可以是除彼此相邻之外的任何地方，除非它们不需要遵守第一条规则。对于n=100和q=18，最大困难的情况是~1004=1亿。所以这是你的最小复杂性，并且是不可避免的，因为问题是目前所说的

有一些简单的情况——当q=2时，有两个可能的棋盘，因此对于任何给定的零对，答案都是1

第3点将整个程序O（n2（n2-3））设置为最小值，并且还建议对于每对零a，您需要一些合理有效的东西

def tuples(n,q):
  return [[a,]+b for a in range(q) for b in tuples(n-1,q)] if n>1 else [[a] for a in range(q)]

def isvalid(t,n):
  grid=[t[n*i:n*(i+1)] for i in range(n)];
  for r in range(n):
    for c in range(n):
      v=grid[r][c]
      left=grid[r][c-1] if c>0 else -1
      right=grid[r][c-1] if c<n-1 else -1
      top=grid[r-1][c] if r > 0 else -1
      bottom=grid[r+1][c] if r < n-1 else -1
      if v==left or v==right or v==top or v==bottom:
        return False
  return True

def count(n,q):
  result=[]
  for pos1 in range(n**2):
    for pos2 in range(n**2):
      total=0
      for t in tuples(n**2,q):
        if t[pos1]==0 and t[pos2]==0 and isvalid(t,n):
          total+=1

      result.append(total)

  return result

assert count(2,2)==[1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1]