Python 使用scipy.integrate.nqad的二重积分解不'；t匹配integrate.dblquad

下面代码中的第一个函数使用与

scipy.integrate.dblquad

的二重积分来计算copula密度函数

c

的微分熵

c*np.log（c）

，该函数有一个依赖参数，

theta

，通常为正

下面代码中的第二个函数尝试解决与上面相同的问题，但使用多重积分解算器

scipy.integrate.nqad

from scipy import integrate
import numpy as np

def dblquad_(theta):
    "Double integration"
    c = lambda v, u: ((1+theta)*(u*v)**(-1-theta)) * (u**(-theta)+v**(-theta)-1)**(-1/theta-2)
    return -integrate.dblquad(
        lambda u,v: c(v,u)*np.log(c(v,u)), 
        0, 1, lambda u: 0, lambda u: 1
        )[0]

def nquad_(n,theta):
    "Multiple integration"
    c = lambda *us: ((1+theta)*np.prod(us)**(-1-theta)) * (np.sum(np.power(us,-theta))-1)**(-1/theta-2)
    return -integrate.nquad(
        func   = lambda *us : c(*us)*np.log(c(*us)), 
        ranges = [(0,1) for i in range(n)],
        args   = (theta,) 
        )[0] 

n=2
theta = 1
print(dblquad_(theta))
print(nquad_(n,theta))

---

基于

dblquad

的函数给出的答案为

-0.7127

，而

nqad

给出的答案为

-0.5823

，并且明显需要更长的时间。为什么即使我已将两者设置为解决

n=2

维问题，解决方案也会不同？

使用您提供的

n

和

theta

值，您的代码输出为：

-0.1931471805597395
0.17055845832017144,

不是

-0.7127

和

-0.5823

第一个值（

-0.1931471805597395

）是正确的（您可以自己检查）

nqad\uu

中的问题在于

theta

参数的处理。感谢@mikuszefski提供的解释；为了清晰起见，我将其复制到这里：

nqad

根据需要将

lambda

传递给函数。lambda是 以这样一种方式编程，它可以接受任意数量的 争论，所以它很乐意接受它并把它放在权力列表中 和总数。因此您不会得到，例如，

1/u**t+1/v**t-1

1/u**t+1/v**t+1/t**t-1

。函数调用与 预期功能用途。如果您改为编写

us[0]**（）+us[1]**（）-1

，它会工作

以下是修改后的代码：

from scipy import integrate
import numpy as np

def dblquad_(theta):
    "Double integration"
    c = lambda v, u: ((1+theta)*(u*v)**(-1-theta)) * (u**(-theta)+v**(-theta)-1)**(-1/theta-2)
    return -integrate.dblquad(
        lambda u,v: c(v,u)*np.log(c(v,u)),
        0, 1, lambda u: 0, lambda u: 1
        )[0]

def nquad_(n,theta):
    "Multiple integration"
    c = lambda *us: ((1+theta)*np.prod((us[0], us[1]))**(-1-theta)) * (np.sum(np.power((us[0], us[1]),-theta))-1)**(-1/theta-2)
    return -integrate.nquad(
        func   = lambda *us : c(*us)*np.log(c(*us)),
        ranges = [(0,1) for i in range(n)],
        args=(theta,)
        )[0]

n=2
theta = 1
print(dblquad_(theta))
print(nquad_(n,theta))

输出：

-0.1931471805597395
-0.1931471805597395

---

假设您发现使用参数输入存在二重积分的确定解，

c（θ）

，您认为这表明可以为所示的数学公式导出封闭形式的解吗？顺便说一句，参数

θ

没有被误用

nqad

根据需要将其传递给函数。

lambda

的编程方式可以接受任意数量的参数，因此它很乐意接受这些参数并将其放入幂和和的列表中。因此，您不会得到，例如

1/u**t+1/v**t-1

，但

1/u**t+1/v**t+1/t**t-1

。函数调用与预期的函数用途不匹配。如果你改为写

us[0]**（）+us[1]**（）-1

，它就行了。@develist

c（u，v）

的积分实际上是一个封闭形式

c*logc

可能不是。你看过

c

关于其积分的闭式解的哪篇文章？从数学上讲，为什么

nqad_uuu（n=3，θ）

给出的解与二元copula

nqad_uu（n=2，θ）

的解完全相同，而计算时间是前者的两倍？同一水平的

theta

对高维连词的影响不应该不同吗？如果不是的话，这是否意味着求解二元copula就已经给出了更高维的copula结果？