Python 为什么减小np.linspace的范围会提高数值积分的精度？

阅读关于简单数值积分（）的教程，它似乎建议减少函数中使用的x值的范围，返回更精确的数值答案。使用的代码是

def integrate(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a, b, N)
    fx = f(x)
    area = np.sum(fx)*(b-a)/N
    return area

integrate(np.sin, 0, np.pi/2, 100)

这将返回值0.99783321217729803

但是，当他们将集成方法修改为：

def integrate(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a+(b-a)/(2*N), b-(b-a)/(2*N), N)
    fx = f(x)
    area = np.sum(fx)*(b-a)/N
    return area

integrate(np.sin, 0, np.pi/2, 100)

这将返回更准确的值1.0000102809119051。为什么会这样？

有两件事：

• 第一个

  集成中的步长不是
  （b-a）/N
  ，而是
  （b-a）/（N-1）
  

• 在第一种方法中，误差主要由左右两侧的半条超调控制，即

  （b-a）/（N-1）/2*f（a）

  和

  （b-a）/（N-1）/2*f（b）

  。如果你把这两种方法相减，你会得到与第二种方法相当的准确度

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也许我读错了，但看起来步数保持不变，因此减小范围实际上会减小步长->更精确，但改变积分范围不会改变答案吗？积分sin（x）从0到pi/2=1，但是从0+k到pi/2-k<1，不是吗？你改变了采样点的范围，而不是积分范围：在你的

区域
计算中，你仍然使用
（b-a）
，但是在第二种情况下，你的间隔中有更多的点采样范围与积分范围有何不同？我认为它们的意思是一样的。在第一种情况下，样本相对于集成箱的位置发生了变化。它从最左边的箱子的左端开始，以小步向右边移动。当到达最右边的箱子时，它将移动到最右边的箱子端。第二种情况是在每个箱子的中心取样。（这是二元线性被积函数的最佳位置。）