如何在Python中与x^2进行（梯形）集成？

我的任务是首先用Python进行集成，然后用Python进行梯形集成，f（x）=x^2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10,10)   
y = x**2

l=plt.plot(x,y)
plt.show(l)

现在我想集成这个函数来得到：F（x）=（1/3）x^3与图片：

这应该是最终的输出：

有人能解释一下如何用python得到F（x）=x^2的反导数F（x）吗？ 我想用一个标准积分和一个梯形积分。对于从（-10到10）的梯形积分，步长为0.01（梯形宽度）。最后，我想得到两种情况下的函数F（x）=（1/3）x^3。我怎样才能到达这里

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谢谢你的帮助。

梯形集成

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
f = x**2

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(x, f)
ax.plot(x[1:], F)

plt.show()

import sympy as sy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = sy.symbols('x')
f = x**2
F = sy.integrate(f, x)

xv = np.arange(-10, 10, 0.1)
fv = sy.lambdify(x, f)(xv)
Fv = sy.lambdify(x, F)(xv)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(xv, fv)
ax.plot(xv, Fv)

plt.show()

这里我应用了理论公式

（f[I]+f[I-1]）*（x[I]-x[I-1]）/2+f[I-1]

，而积分是在块中完成的：

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

F = sy.integrate(f, x)

注意为了绘制

x

和

F

，它们必须具有相同数量的元素；所以我忽略了

x

的第一个元素，所以它们都有

199

元素。这是梯形方法的结果：如果集成

n

元素的数组

f

，则获得

n-1

元素的数组

f

。此外，我在

x=-10

处将

F

的初始值设置为

-333.35

，这是积分过程中的任意常数，我决定该值是为了在原点附近传递函数

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分析集成

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
f = x**2

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(x, f)
ax.plot(x[1:], F)

plt.show()

import sympy as sy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = sy.symbols('x')
f = x**2
F = sy.integrate(f, x)

xv = np.arange(-10, 10, 0.1)
fv = sy.lambdify(x, f)(xv)
Fv = sy.lambdify(x, F)(xv)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(xv, fv)
ax.plot(xv, Fv)

plt.show()

这里我通过

sympy

模块使用符号数学。集成在块中完成：

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

F = sy.integrate(f, x)

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注意在这种情况下，

F

和

x

已经具有相同数量的元素。此外，代码更简单。

有两个关键观察结果：

• 梯形规则指的是数值积分，其输出不是一个积分函数，而是一个数字
• 积分是一个任意常数，该常数不包括在

  F（x）

考虑到这一点，您可以使用定义积分函数：

import numpy as np
from scipy.integrate import trapz


def numeric_integral(x, f, c=0):
    return np.array([sp.integrate.trapz(f(x[:i]), x[:i]) for i in range(len(x))]) + c

或者更有效地使用（从上面进行计算）：

该图如下所示：

import matplotlib.pyplot as plt


def func(x):
    return x ** 2


x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y = func(x)
Y = numeric_integral(x, func)

plt.plot(x, y, label='f(x) = x²')
plt.plot(x, Y, label='F(x) = x³/3 + c')
plt.plot(x, x ** 3 / 3, label='F(x) = x³/3')
plt.legend()

它为您提供除任意常量之外的指定结果，您应该自己指定该常量

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为了更好地测量，虽然在这种情况下不相关，但请注意

np.arange（）

如果与分步使用，则不会提供稳定的结果。通常，可以使用

np.linspace（）

。

scipy的

cumtrapz

函数将使用梯形积分提供反导数：

from scipy.integrate import cumtrapz
yy = cumtrapz(y, x, initial=0)

# make yy==0 around x==0 (optional)
i_x0 = np.where(x >= 0)[0][0]
yy -= yy[i_x0]

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我想你们可以先用谷歌搜索一下：我已经用谷歌搜索过了，但我找不到我想要的。注意你们使用的梯形积分是不正确的。你可以通过绘制

x**3/3

来看到它。你能给我解释一下这条线吗：（f[i]+f[i-1]）*（x[i]-x[i-1]）/2+f[i-1]@mathflower这是x轴和函数之间的梯形面积加上所有previos梯形的总和的公式。正如@norok2所说的，在该公式中，求出吊架的主基和次基（

f[i]

和

f[i-1]

），乘以吊架的高度（

x[i]-x[i-1]

），然后除以2，这是吊架面积的公式。最后，你把这个结果和前面的结果相加，

F[i-1]

你是怎么得出F[-333.35]的？我可以取另一个值吗？为什么使用c=0？“我能把它删掉吗？@mathflower，你当然可以删掉它。这只是为了解释一个恰当的数学，它说积分函数在代码中被定义为一个任意常数，

c

。我之所以问这个问题，是因为你手动插入了x**2的反导数，而不是计算它。你已经计算了反导数，但是用常数c。我只想在没有c@mathflower的情况下得到反导数，我不知道你指的是什么。

numeric\u integral（）

中的代码一开始对

f（）

一无所知。我只是绘制分析结果的完整性，仅此而已。

c

的存在具有数学意义。在这种数值方法中，其值仅取决于实际使用的

x

。没有一种数学上有效的方法可以获得一个值

c

，该值总是与您在分析反导数中找到的值相匹配，该反导数是使用您在微积分中对任意函数和所考虑的

x

范围研究的规则找到的。@mathflower换句话说，您希望得到

c=0

，但是你得到的是

c=F（x0）

和

x0

下极限的

x

。因为你（不得不假装你）不知道

F（x）

，所以你不能显式地计算

c

。