在Python中转换矩形

我有任何变换矩阵，例如：

sig =[[2,1],[1,1]]

使用此代码，我可以变换r=1的圆：

import numpy as np
import math as mt
from matplotlib.pyplot import *

sig =[[2,1],[1,1]]

ndiv=100 
r=1.0
theta=np.linspace(0,2*np.pi,ndiv)
x=r*np.cos(theta)
y=r*np.sin(theta)    

fig = figure()
ax = fig.add_axes([0.1, 0.1, 0.8, 0.8])
ax.plot(x,y,'b.')

x_transf=np.zeros(ndiv)
y_transf=np.zeros(ndiv)

direc=np.zeros(ndiv)

N=np.zeros(ndiv)

v=[0.0,0.0]
w=[0.0,0.0]  
for i in range(ndiv): 
    v[0]=x[i]
    v[1]=y[i]

    w=np.dot(sig,v)     

    x_transf[i]=w[0] 
    y_transf[i]=w[1]

 N[i]=mt.sqrt(x_transf[i]**2+y_transf[i]**2)


 ax.plot(x_transf,y_transf,'g+')
 axis('equal')
 grid('on')

现在，我需要使用以下变换矩阵变换矩形（正方形）：

M = [[sqrt(th), -1.5*th],[2*sin(th),cos(th)]] #th is an angle between 0 and 2pi

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同时找出产生最大面积的角度。我该怎么做

下面是一个如何应用转换的示例。作为示例和检查，我还应用了法线旋转（红色）：

至于找到最大面积，你可以通过解析的方法得出，也可以通过数值计算旋转矩形的面积，然后使用，比如，使其最大化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy import sin, cos, sqrt, pi

r0 = np.array([[.5, .2], [1.5,.2], [1.5,1.2], [.5,1.2], [.5,.2]])

th = .05*pi
R = np.array([[cos(th), -sin(th)], [sin(th), cos(th)]])
M = np.array([[sqrt(th), -1.5*th],[2*sin(th),cos(th)]])

r1 = R.dot(r0.T).T
r2 = M.dot(r0.T).T

plt.plot(r0[:,0], r0[:,1], "bo-")
plt.plot(r1[:,0], r1[:,1], "ro-")
plt.plot(r2[:,0], r2[:,1], "go-")
plt.xlim(-0.2, 1.8)
plt.ylim(-0., 2.)

plt.show()