Python 在给定径向距离的球坐标中绘图？

对于家庭作业问题，我们被要求

---

编写一个程序，计算矩阵

a

的所有特征值，使用瑞利商迭代找到每个特征值

一,。报告您对每个特征值的初始猜测。将

n

迭代时的误差与每个特征值的

n+1

迭代时的误差进行对比（在log中）

二,。计算在单位球体离散化上采样的

x

的瑞利商（使用球坐标）。绘制结果，例如使用网格

（Θ，Θ，r（Θ，Θ）

）。解释临界点的数量和位置

---

我已经完成了问题的第一部分，但我不确定我是否理解如何完成第二部分。经过一些研究，我发现了用Python绘制球坐标的各种方法（和），这为我提供了一些线索。从这些链接和其他一些来源借用我的资料

# The matrix for completness
A = np.matrix([[4,3,4], [3,1,3], [4,3,4]])
A = scipy.linalg.hessenberg(A)

num_points = 50
theta, phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_points), np.linspace(0, np.pi, num_points)
x = np.sin(phi) * np.cos(theta)
y = np.sin(phi) * np.sin(theta)
z = np.cos(phi)

xyz = np.stack((x, y, z), axis=1)
rqs = np.array([np.dot(x, np.dot(A, np.conj(x).T)).item(0) for _,x in enumerate(xyz)])

在第一段代码中，创建

（Θ，Θ）

，并将其转换为笛卡尔坐标，有效地对

R^3

中的单位圆进行了离散化。这允许我创建

x

向量（

xyz

以上），用于计算每个离散点的瑞利商（

rqs

以上），即球坐标的

r（Θ，Θ）

不过，现在我有了径向距离，我不知道如何再次正确地重新创建

x，y，z

，以便

meshgrid

绘制为曲面。这可能超出了StackOverflow和Math.Stack的范畴，但我也不确定这个图最终是“扭曲平面”还是“扭曲球体”

在上面的链接中，我认为答案在于。在代码块中

theta, phi = np.linspace(0, 2 * np.pi, 40), np.linspace(0, np.pi, 40)
THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)
R = np.cos(PHI**2)
X = R * np.sin(PHI) * np.cos(THETA)
Y = R * np.sin(PHI) * np.sin(THETA)
Z = R * np.cos(PHI)

R

这里我假设是指径向距离，但是，当计算

x，y，z

时，这个

R

在网格中。我曾尝试将上面的

rqs

重塑为相同的维度，但

rqs

的值与后续网格不一致，因此产生了明显错误的绘图

我几乎需要一种方法来将

meshgrid

的创建与

x

的计算联系起来。但直接应用于

网格网格

的计算似乎很复杂

给定径向距离，如何生成基于球坐标的绘图？

---

编辑：经过进一步搜索，我找到了生成所需绘图的方法，尽管我仍然希望用Python重现这一点。我想说，这段MatLab代码概述了如何在Python中实现这一点，但它似乎是一些非常古老和深奥的代码。这是它生成的图

---

我不知道数学或瑞利商，但从我收集的数据来看，你想要计算作为单位球体点函数的

rqs

。为此，我建议使用

meshgrid

为所有

Θ

和

Θ

生成值对。然后，因为你的矩阵公式是为笛卡尔坐标系而不是球坐标系定义的，所以我会将我的网格转换成笛卡尔坐标系并插入到公式中

最后，可以使用单位球体上的

plot_surface

对结果进行说明，其中（缩放的）

RQS

数据用于

facecolor

：

import numpy as np
import scipy.linalg
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
import matplotlib.pyplot as plt

# The matrix for completness
A = np.matrix([[4,3,4], [3,1,3], [4,3,4]])
A = scipy.linalg.hessenberg(A)

num_points = 25
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_points)
phi = np.linspace(0, np.pi, num_points)

THETA, PHI = np.meshgrid(theta, phi)

X = np.sin(PHI) * np.cos(THETA)
Y = np.sin(PHI) * np.sin(THETA)
Z = np.cos(PHI)

# Calculate RQS for points on unit sphere:
RQS = np.empty(PHI.shape)
for theta_pos, phi_pos in itertools.product(range(num_points), range(num_points)):
    x = np.array([X[theta_pos, phi_pos],
                  Y[theta_pos, phi_pos],
                  Z[theta_pos, phi_pos]])
    RQS[theta_pos, phi_pos] = np.dot(x, np.dot(A, np.conj(x).T))

# normalize in range 0..1
maxRQS = abs(RQS).max()
N = (RQS+maxRQS)/(2*maxRQS)

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(
    X, Y, Z, rstride=1, cstride=1,
    facecolors=cm.jet(N),
    linewidth=0, antialiased=False, shade=False)
plt.show()

这给出了以下结果，这似乎与OP中的Matlab等高线图一致

---

请注意，可能有更好的方法（矢量化）将

X

、

Y

和

Z

网格转换为矢量，但主要的执行时间似乎在绘图过程中，因此我不会花时间试图弄清楚具体的方式。

您要绘制的是什么计数？它是半径作为角度的函数吗？轮廓是矩阵的瑞利商的轮廓

（M，x）=x*mx/x*x

（）。它是矩阵和向量的函数。其中，向量是角度的函数；也就是说，向量是

R^3

中单位球体的离散化。因此函数应该看起来像

r（M，x（Θ，Θ））=x（Θ，Θ）*mx（Θ，Θ）/x（Θ，Θ）*x（Θ，Θ）

。因此，在上述代码中，

x（Θ，Θ）=xyz

和

r（M，x（Θ，Θ））=rqs

。问题是，我不知道如何将

rqs

与角度的创建及其随后到笛卡尔坐标的转换结合起来。但是

r

是一个标量值，是

Θ

和

Θ

的函数，而

M

可以被视为常数（在此特定计算中）？是

r

将计算为标量（瑞利商是单个标量值）。我想这就是我不确定的地方，也许需要一些数学知识。在这里叠加。从我的理解来看，我基本上需要绘制一个单位球体，作为一个曲面图，在球体上的每个点上都有一个标量值。可以说是一个“扭曲的球体”

r

（well

rps

）表示单位球体上每个点与原点的距离。实际上。。它应该绘制一个单位球体，但作为热图。单位球体上给定点的更强烈颜色应表示更大的

r

。实际上，我刚刚找到了创建所需绘图的MatLab代码（）。我将上传一个图像在OP。