Python z3解决方案数

如何使用z3计算解决方案的数量？例如，我想证明，对于任何

n

，方程组

{x^2==1，y_1==1，…，y_n==1}

有两个解。下面的代码显示了给定

n

的可满足性，这并不是我想要的（我想要任意

n

的许多解决方案）

---

如果有有限数量的解，可以使用不等于其指定模型值的常数（x_i）的间断来枚举所有这些常数。如果有无穷多个解（如果你想证明所有自然数n都有无穷多个解），你可以使用相同的技术，但当然不能全部列举，但可以使用它生成许多解，直到你选择的某个边界。如果你想证明所有n>1，你需要使用量词。我在下面添加了一个讨论

虽然你没有问这个问题，但你也应该看到这个问题/答案：

下面是您执行此操作的示例（这里的z3py链接：）：

如果你想证明对于n的任何选择都没有其他的解决方案，你需要使用量词，因为之前的方法只适用于有限n（而且很快就会变得非常昂贵）。这是一个显示这个证明的编码。您可以对其进行概括，将上一部分中的模型生成功能结合起来，为更一般的公式提供+/-1解决方案。如果方程有许多与n无关的解（就像在你的例子中），这将允许你证明方程有一些有限的解。如果解的个数是n的函数，你必须算出这个函数。z3py链接：

---

哇，这是一个伟大的回应。不幸的是，我不能很好地使用第一部分：我在解算器之外得到数字解，所以我不能证明像这样的事情“解决方案的数量让我开始产生这样的印象，即在z3中无法做到这一点：-/您能提供一个您想要解决的示例吗？你可以用我答案的第一部分来找出一个特定n的解的数目。然后，您可以使用第二部分来说明对于n的任何选择都没有其他解决方案。在原始示例中，解决方案的数量与n无关。你有没有一个你感兴趣的具体例子？我不理解函数的域=1。如果你想做一件确定的事。我想证明一个等价于：“在实数域中，对于任何

n

，对于任何

t_1，…t_n

，方程组{

x_1^2==t_1

，

x_2^2==t_2

，…，

x_n^2==t_n

，至多有

2^n

的解。”

#!/usr/bin/env python

from z3 import *

# Add the equations { x_1^2 == 1, x_2 == 1, ... x_n == 1 } to s and return it.
def add_constraints(s, n):
    assert n > 1
    X = IntVector('x', n)
    s.add(X[0]*X[0] == 1)
    for i in xrange(1, n):
        s.add(X[i] == 1)
    return s

s = Solver()
add_constraints(s, 3)
s.check()
s.model()

    # Add the equations { x_1^2 == 1, x_2 == 1, ... x_n == 1 } to s and return it.
def add_constraints(s, n, model):
    assert n > 1
    X = IntVector('x', n)
    s.add(X[0]*X[0] == 1)
    for i in xrange(1, n):
        s.add(X[i] == 1)

    notAgain = []
    i = 0
    for val in model:
      notAgain.append(X[i] != model[val])
      i = i + 1
    if len(notAgain) > 0:
      s.add(Or(notAgain))
      print Or(notAgain)
    return s

for n in range(2,5):
  s = Solver()
  i = 0
  add_constraints(s, n, [])
  while s.check() == sat:
    print s.model()
    i = i + 1
    add_constraints(s, n, s.model())
  print i # solutions

x = Function('x', IntSort(), IntSort())
s = Solver()
n = Int('n')
# theorem says that x(1)^2 == 1 and that x(1) != +/- 1, and forall n >= 2, x(n) == 1
# try removing the x(1) != +/- constraints
theorem = ForAll([n], And(Implies(n == 1, And(x(n) * x(n) == 1, x(n) != 1, x(n) != -1) ), Implies(n > 1, x(n) == 1)))
#s.add(Not(theorem))
s.add(theorem)
print s.check()
#print s.model() # unsat, no model available, no other solutions