Python 凸多边形之间的Hausdorff距离

我感兴趣的是计算由顶点定义的两个多边形（特别是几乎是矩形的四边形）之间的Hausdorff距离。它们可能重叠

回想一下$d_H（A，B）=\max（d（A，B），d（B，A））$，其中$d$是Hausdorff半度量 $d（A，B）=\sup{A\ in A}\inf{B\ in B}d（A，B）$

如果给定一个有限的不相交覆盖$a$，${a_i}$，$d（a，B）=\max{d（a_i，B）}$，这是真的吗？其推论是$d（A，B）=d（A\set减去B，B）$

---

我找到了阿塔拉的一篇论文。我对Python感兴趣，并愿意接受任何预先编程的解决方案。

对于凸多边形，

d（A，B）

是从

A

的顶点到

B

中任何点的最大距离。因此，如果可以计算从任意点到凸多边形的距离，那么Hausdorff距离就不太难计算

要计算从一个点到凸多边形的距离，首先必须测试该点是否在多边形内部（如果是，则距离为0），然后如果不在多边形内部，则找到到任何边界线段的最小距离

另一个查询的答案是否。例如，让A和B都是以原点为中心的相同2x2正方形。将A划分为4个1x1正方形。从每个Ai到B的Hausdorff距离是

sqrt（2）

，但从A到B的距离是0

更新：关于顶点的说法并不明显，因此我将给出一个在任何有限数量的维度上都很好的证明。我试图证明的结果是，在计算同时具有多边形和凸的

d（A，B）

时，只要找到

A

到

B

的顶点之间的距离就足够了。（

B

中最近的点可能不是顶点，但

a

中最远的点之一必须是顶点。）

因为两者都是有限的闭合形状，所以它们是紧凑的。从紧凑性来看，在

a

中必须存在一个点

p

，该点尽可能远离

B

。从紧凑性来看，在

B

中必须存在一个尽可能接近

a

的点

q

只有当

A

和

B

是同一个多边形时，该距离才为0，在这种情况下，很明显，我们在

A

的顶点处达到该距离。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设从

p

到

q

之间存在正距离

绘制与

p

至

q

直线垂直的平面（在更高的维度中，某种超平面）。

B

中的任何点都能穿过此平面吗？如果有一个，比如说

r

，那么从

q

到

r

的线段上的每个点都必须在

B

中，因为

B

是凸的。但是很容易证明，这条线段上一定有一个点比

q

更接近

p

，这与

q

的定义相矛盾。因此

B

不能穿过此平面

显然，

p

不能是一个内部点，因为如果它是，那么沿着光线从

q

继续到

p

，你会发现

A

中的点距离

B

后面的平面更远，这与

p

的定义相矛盾。如果

p

是

a

的一个顶点，那么结果就非常正确。因此，唯一有趣的情况是

p

位于

a

的边界上，但不是顶点

如果是这样，则

p

位于曲面上。如果该曲面与我们构建的平面不平行，则很容易沿着该曲面移动，远离我们后面的

B

平面，并找到距离

B

比

p

更远的点。因此，该表面必须平行于该平面。由于

A

是有限的，因此该曲面必须在某个顶点处终止。这些顶点与该平面的距离与

p

相同，因此与

B

的距离至少与

p

的距离相同。因此，

A

至少存在一个顶点，该顶点尽可能远离

B

这就是为什么找到多边形顶点到另一个多边形的最大距离就足够了

---

（我把构造一对带有

q

而不是顶点的多边形作为一个有趣的练习留给读者。）

你可能会在数学课上获得更好的运气（尤其是证明部分）。SEI也在那里发布了，但是这里没有太多算法方面的东西。删除latex-like格式…几年后，标准Shapely库有了一个很好的实现，请参见这里的答案：如果两个形状相交，最大距离是否一定是一个顶点？@AlexChamberlain是的。我更新了这篇文章，用了一张草图，证明它可以在任何尺寸下工作，即使形状相交。