String 给定一个字符串X和该字符串的倒数，Y。X和Y的最长公共序列总是回文吗？

我们的教授给了我们以下问题：

Input
   A sequence of characters X = x1, x2, ... ,xn
Output
   The length of the longest sub-sequence of X that is a palindrome

我的解决办法是：

 Take X and reverse it into the sequence Y = y1, y2, ... , yn
 Then perform LongestCommonSubsequence(X,Y)  

他给了我一部分学分然后写了

"The LCS of X and reverse X is not necessarily a palindrome."

但我一直在运行这个算法（顺便说一句，不是我的），用X和反向X，我得到的只是回文

/**
 ** Java Program to implement Longest Common Subsequence Algorithm
 **/

import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.IOException;

/** Class  LongestCommonSubsequence **/
public class  LongestCommonSubsequence
{    
/** function lcs **/
public String lcs(String str1, String str2)
{
    int l1 = str1.length();
    int l2 = str2.length();

    int[][] arr = new int[l1 + 1][l2 + 1];

    for (int i = l1 - 1; i >= 0; i--)
    {
        for (int j = l2 - 1; j >= 0; j--)
        {
            if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j))
                arr[i][j] = arr[i + 1][j + 1] + 1;
            else 
                arr[i][j] = Math.max(arr[i + 1][j], arr[i][j + 1]);
        }
    }

    int i = 0, j = 0;
    StringBuffer sb = new StringBuffer();
    while (i < l1 && j < l2) 
    {
        if (str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) 
        {
            sb.append(str1.charAt(i));
            i++;
            j++;
        }
        else if (arr[i + 1][j] >= arr[i][j + 1]) 
            i++;
        else
            j++;
    }
    return sb.toString();
}
}

/**
**实现最长公共子序列算法的Java程序
**/
导入java.io.BufferedReader；
导入java.io.InputStreamReader；
导入java.io.IOException；
/**类最长公共子序列**/
公共类最长公共子序列
{    
/**功能lcs**/
公共字符串lcs（字符串str1、字符串str2）
{
int l1=str1.length（）；
int l2=str2.length（）；
int[]arr=新int[l1+1][l2+1]；
对于（int i=l1-1；i>=0；i--）
{
对于（int j=l2-1；j>=0；j--）
{
if（str1.字符（i）=str2.字符（j））
arr[i][j]=arr[i+1][j+1]+1；
其他的
arr[i][j]=Math.max（arr[i+1][j]，arr[i][j+1]）；
}
}
int i=0，j=0；
StringBuffer sb=新的StringBuffer（）；
而（i=arr[i][j+1]）
i++；
其他的
j++；
}
使某人返回字符串（）；
}
}

---

我如何证明或反驳X和X的倒数X的最长公共子序列是或不是回文序列

对于

X=0,1,2,0,1

我们有

Y=reverse（X）=1,0,2,1,0

，最长的子序列之一是

0,2,1

。所以你的建议不符合一般情况。但问题中给出的算法返回的LCS始终可能是回文。在我的示例中，所有LCS-s的系统枚举如下：

0,1,0

，

0,2,1

，

0,2,0

，

1,2,0

，

1,2,1

，

1,0,1

，第一个LCS确实是回文。但我还不能大体证明。所以我认为，实际上（教授和你）都是对的：虽然可以有

X

和

reverse（X）

的LCS不是回文，但LCS算法的大多数（实际上：直接）实现总是会为

X

和

reverse（X）

返回回文。（仍然缺少完整的证据）

这个链接可能会有所帮助：扰流板：LCS不一定输出回文。@coproc我认为Tymur的链接提供了一个反例，请阅读这里的@•㪞עבקן好的，对。尽管如此，我仍然认为OP的LCS算法总是会返回一个回文（另请参见我的答案）。@TymurGubayev因为要求输出最长公共子序列的长度，所以如果有其他LCS与最长回文一样长，也可以。FWIW，我认为你是对的，你发布的算法总是输出回文。我写了一个快速的程序来测试每个不同长度的字符串（直到同构）的假设