Time complexity n^1.001的大O时间复杂度 为什么n^1.001的增长大于用大O表示法表示的nlogn？ n^0.001似乎不重要

对于任何大于1的指数（x），nx最终大于n*log（n）。在x=1.001的情况下，所讨论的n大得令人难以置信。即使将x降低到1.01，直到超过n=1E+128（但在达到1E+256之前），nx也不会大于n*log（n）

因此，对于n小于天文数的问题，n1.001将小于n*log（n），但最终会达到一个更大的点。

对于任何大于1的指数（x），nx最终会大于n*log（n）。在x=1.001的情况下，所讨论的n大得令人难以置信。即使将x降低到1.01，直到超过n=1E+128（但在达到1E+256之前），nx也不会大于n*log（n）

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因此，对于n小于天文数的问题，n1.001将小于n*log（n），但最终会达到一个更大的点。

如果有人感兴趣，这里有一个正式的证明：

为了简单起见，假设我们在base

e

中使用对数

让

a>1

为任何指数（例如，

a=1.001

）。然后

a-1>0

。现在考虑函数

f(x) = x^(a-1)/log(x)

使用L'Hôpital规则不难看出这个函数是无界的。此外，计算

f（x）

的导数，还可以看到函数在

x>exp（1/（a-1））

时增加

因此，必须存在一个整数

N

，这样，对于所有

N>N

，都是

f（N）>1

。换句话说

n^(a-1)/log(n) > 1

或

所以

这表明

O（n^a）>=O（n log（n））

但是等一下。我们想要的是

，而不是

=

，对吗？幸运的是，这很容易看到。例如，在

a=1.001的情况下，我们有

O(n^1.001) > O(n^1.0001) >= O(n log(n))

我们已经完成了。
如果有人感兴趣，这里有一个正式的证明：

为了简单起见，假设我们在base
e
中使用对数

让
a>1
为任何指数（例如，
a=1.001
）。然后
a-1>0
。现在考虑函数

f(x) = x^(a-1)/log(x)

使用L'Hôpital规则不难看出这个函数是无界的。此外，计算
f（x）
的导数，还可以看到函数在
x>exp（1/（a-1））
时增加

因此，必须存在一个整数
N
，这样，对于所有
N>N
，都是
f（N）>1
。换句话说

n^(a-1)/log(n) > 1

或

所以

这表明
O（n^a）>=O（n log（n））

但是等一下。我们想要的是
，而不是
=
，对吗？幸运的是，这很容易看到。例如，在
a=1.001的情况下，我们有

O(n^1.001) > O(n^1.0001) >= O(n log(n))

我们完成了。
什么是1e62^1.001？什么是1e62*日志（1e62）？什么是1e62^1.001？什么是1e62*日志（1e62）？