Wolfram mathematica 当n是一个带有mathematica、maple或maxima的变量时，如何计算n阶的行列式？

例如，一个n*n矩阵

A_n=[2 1 1 ... 1]
    [1 2 1 ... 1]
    [...     ...]
    [1 1 1 ... 2]

具有行列式n+1。我能用这些软件计算这个结果吗？

这个

f[n_]:=Det[Table[1,{n},{n}]+IdentityMatrix[n]];
f[12]

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返回

13

，并且似乎适用于任何中等大小的矩阵。

由于Maple可能不容易提供表示抽象向量或不确定大小矩阵的结构，因此您可以尝试根据行列式的某些已知属性来重铸问题

例如，使用可以利用nx1矩阵V（n），其所有条目都是相同的1

所以det（A（n））=det（Id（n）+V（n）。转置（V（n））=1+det（转置（V（n））.V（n））=1+add（i，i=1..n）=1+n

另一种方法是考虑沿着第n行的一个小扩展。当从由A（n）表示的初始矩阵中删除第n行和第n列时，则得到A（n-1）。删除第n行和第j列（1..n-1中的j）将生成一个行列式为（-1）^j的矩阵。我在这里没有说明这一点。但请注意，这些子项中的任何一个都是（n-1）x（n-1）矩阵的单行交换，左上角是（n-2），其他地方是1

结果Q（n）A（n）的行列式由Q（n）=2*Q（n-1）-（n-1）给出。Q（1）=2。使用Maple的

rsolve

命令

rsolve({Q(n)=2*Q(n-1)-(n-1), Q(1)=2}, Q(n));

               n + 1

另一种方法可能是考虑行沿2…N行减少。您应该能够生成一个新的矩阵（具有相同的行列式），其对角线条目为：2，（i+1）/i，i=2..n。因此，行列式是一个方便伸缩的乘积

simplify( 2*product((i+1)/i, i=2..n) );

                n + 1

当然，在特定值下处理大小为n的矩阵是很容易的

H:=n->1+Matrix(n,n,1):
with(LinearAlgebra):

seq(Determinant(H(i)),i=1..5);

            2, 3, 4, 5, 6

U7:=LUDecomposition(H(6),output=U);

                  [2  1  1  1  1  1]
                  [                ]
                  [   3  1  1  1  1]
                  [0  -  -  -  -  -]
                  [   2  2  2  2  2]
                  [                ]
                  [      4  1  1  1]
                  [0  0  -  -  -  -]
                  [      3  3  3  3]
                  [                ]
            U7 := [         5  1  1]
                  [0  0  0  -  -  -]
                  [         4  4  4]
                  [                ]
                  [            6  1]
                  [0  0  0  0  -  -]
                  [            5  5]
                  [                ]
                  [               7]
                  [0  0  0  0  0  -]
                  [               6]

# The product of the  main diagonalentries telescopes.
mul(U7[i,i],i=1..6);

                  7

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您的代码仍然可以精简：）记住，您可以在Mathematica中向矩阵添加标量：

f[n_]：=Det[1+IdentityMatrix[n]]

这不是很漂亮吗？然而+1我能直接得到n+1吗？