Z3 在QF_UFNRA中得到实的分数部分

使用smtlib，我想使用QF_UFNRA制作一些类似模的东西。这使我无法使用mod，to_int，to_real这样的东西

最后，我想在下面的代码中得到z的分数部分：

(set-logic QF_UFNRA)

(declare-fun z () Real)
(declare-fun z1 () Real)
(define-fun zval_1 ((x Real)) Real
         x
)
(declare-fun zval (Real) Real)

(assert (= z 1.5));
(assert (=> (and (<= 0.0 z) (< z 1.0)) (= (zval z) (zval_1 z))))
(assert (=> (>= z 1.0) (= (zval z) (zval (- z 1.0)))))
(assert (= z1 (zval z)))

（设置逻辑QF\u UFNRA）
（声明funz（）真实）
（声明乐趣z1（）真实）
（定义fun zval_1（（x Real））Real
x
)
（宣布有趣的zval（真实）真实）
（断言（=z 1.5））；
（断言（=>（和（>=z1.0）（=（zvalz）（zval（-z1.0）；）））
（断言（=z1（zvalz）））

当然，正如我在这里提出的这个问题所暗示的，它没有成功

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有人知道如何使用逻辑QF_UFNRA将z的分数部分转换成z1吗？

这是一个很好的问题。不幸的是，如果你将自己限制在

QF_UFNRA

，你想做的通常是不可能的

如果你能对这样的函数进行编码，那么你就可以决定任意的丢番图方程。你只需将给定的丢番图方程转换成实，计算“分数”用这种所谓的方法求出实解，并断言分数是

0

。由于实是可判定的，这将给你一个丢番图方程的判定过程，完成不可能的事情。（这被称为希尔伯特第十个问题。）

因此，尽管任务看起来很简单，但实际上是不可行的。但这并不意味着你不能用一些扩展对其进行编码，也可能让解算器成功地决定它的实例

如果允许使用量词和递归函数 如果允许自己使用量词和递归函数，则可以编写：

(set-logic UFNRA)

(define-fun-rec frac ((x Real)) Real (ite (< x 1) x (frac (- x 1))))

(declare-fun res () Real)
(assert (= (frac 1.5) res))

(check-sat)
(get-value (res))

请注意，我们使用了允许量化的

UFNRA

逻辑，由于使用了

define-fun-rec

构造，这里隐式要求量化。（有关详细信息，请参阅SMTLib手册。）这基本上就是您在问题中试图编码的内容，但使用递归函数定义工具而不是隐式编码。但是，在SMTLib中使用递归函数时有几个注意事项：特别是，您可以编写使系统不一致的函数。有关详细信息，请参阅的第4.2.3节细节

如果你能用QF_UFNIRA 如果移动到

QF_UFNIRA

，即允许混合实数和整数，则编码很容易：

(set-logic QF_UFNIRA)

(declare-fun z  () Real)
(declare-fun zF () Real)
(declare-fun zI () Int)

(assert (= z (+ zF zI)))
(assert (<= 0 zF))
(assert (< zF 1))

(assert (= z 1.5))
(check-sat)
(get-value (zF zI))

（当

z<0

时，您可能必须小心计算

zI

，但想法是一样的。）

请注意，仅仅因为编码简单并不意味着z3总是能够成功地回答查询。由于混合了

Real

和

Integer

，问题仍然无法确定，如前所述。如果您对

z

有其他限制，z3很可能会对该编码作出

unknown

的响应。在这种特殊情况下，它恰好足够简单，因此z3能够找到一个模型

如果您有

sin

和

pi

： 这与其说是一个真正的替代方案，不如说是一个思维实验。如果SMTLib允许

sin

和

pi

，那么您可以检查

sin（zI*pi）是否

为

0

，对于适当约束的

zI

。此查询的任何令人满意的模型都将确保

zI

为整数。然后可以使用此值通过从

z

中减去

zI

来提取小数部分

但这是徒劳的，因为SMTLib既不允许

sin

也不允许

pi

。而且有很好的理由：可判定性将丢失。话虽如此，也许一些勇敢的灵魂可以设计一种支持

sin

，

pi

等的逻辑，并成功地正确回答您的查询，同时在pr这个问题对于解算器来说太难了。非线性算法和

QF_UFNIRA

片段已经是这样了：解算器通常会放弃，但它使用的启发式方法可能会解决实际感兴趣的问题

对理性的限制 从理论上来说，如果你把自己局限于理性（而不是实际的现实）然后你就可以写一个一阶公式来识别整数了。然而，这种编码并不适合心脏虚弱的人。此外，由于编码涉及量词，SMT解算器很可能无法很好地处理基于这种思想的公式

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[顺便说一句，我应该感谢我的同事们；这个问题在午餐时间进行了一次精彩的交谈！]

谢谢你的回答！实际上，我的问题是（和是）近似sin（和其他三角函数）作为SMT问题。为了实现这一点，我希望将传入变量计算为0。您应该检查

dReal

：。我个人没有使用过它，但它声称使用δ-可满足性的概念支持三角函数。（一般来说，这个问题是无法确定的，但是如果你考虑到一定的精度损失，可以检查可满足性。）另外：如果你可以转移到定理证明环境中，MetiTarski是一个支持超验的强大工具：我尝试了dReal3。非常好，但缺少模型和未经测试的核心。只是让你知道。

(set-logic QF_UFNIRA)

(declare-fun z  () Real)
(declare-fun zF () Real)
(declare-fun zI () Int)

(assert (= z (+ zF zI)))
(assert (<= 0 zF))
(assert (< zF 1))

(assert (= z 1.5))
(check-sat)
(get-value (zF zI))

sat
((zF (/ 1.0 2.0))
 (zI 1))