Algorithm 是否有从一组公式中提取最小笛卡尔积数的算法？

例如，我们有一组公式如下：

B*2*j
B*3*i
B*3*j
C*2*j
C*3*i
C*3*j
D*2*i
D*2*j
D*3*i
D*3*j

我们可以用三个笛卡尔积来表示上面的公式：

D*(2+3)*(i+j)
(B+c)*3*(i+j)
(B+C)*2*j

所以总数是3。我们还可以：

3*(B+C+D)*(i+j)
2*(B+C)*D
2*D*(i+j)

这也是3

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我想问，有没有一种算法可以从一组公式中确定笛卡尔积的最小数目？还有这些产品吗？

首先，我将编写一组公式，作为用

+

分隔的术语，因为您所寻找的转换在代数上是有意义的（除了您不想将

2+3

这样的数字组合成

5

）

您可以使用的基本操作是分解：将两个术语（如

ABC+ABD）组合成
AB（C+D）
。根据您的评论，您只能生成由一系列单因子项组成的新因子，如上例中的
C+D
；不允许将例如
ABCD+ABDE
分解为
AB（CD+DE）

当且仅当两个k因子项完全共享k-1因子时，您可以对其进行因子分解。（例如，在我的
ABC+ABD
示例中，k=3）。每次这样的因子分解都会将集合中的项数减少1:2，然后删除2，再添加1

当组合3个或3个以上术语时，多次这样做是有效的：
ABC+ABD+ABE
可以首先分解为
AB（C+D）+ABE
，然后这2个术语再次分解为
AB（C+D+E）
。请注意，我们以何种顺序列出总和中的项或产品中的因子并不重要，在构建包含3个或更多项的因子时，我们以何种顺序执行因子分解步骤也不重要

然后，我们可以将问题框架化为图中的搜索问题，其中起始顶点对应于原始公式（
B*2*j+B*3*i+…+D*3*j
），并且从每个顶点v向其子顶点发射弧，每个弧对应于对v执行某些因式分解的结果。v将有一个子顶点用于每个可能在其上执行的因式分解；如果v中有m个项，那么这意味着在最坏的情况下，它最多可以有m（m-1）/2个子项，因为可能所有m个项都共享k-1因子的完整补充，这意味着它们中的任何一对都可以组合

如果一个顶点没有一对可以通过因子分解组合的项，那么它就是一个“叶子”——它没有子项，不能进一步处理。我们想要找到的是一个具有最少项数的叶顶点。因为每一个因子分解，对应于图中的一个弧，减少了1个项的数量，这相当于搜索一个可能最深的顶点。这可以使用DFS或BFS完成。但是请注意，使用这种方法可以多次生成相同的表达式（顶点），因此维护记录所有已处理表达式的哈希表
seen
，对于性能至关重要；然后，如果我们访问一个顶点，尝试为它生成一个子对象，并且看到这个子对象已经在
中看到了
，我们将避免再次访问这个子对象

为了避免同一表达式通过同一组factorsation的多个不同顺序生成的现象，您可以添加一条规则：以某种方式排列v的子factorsation，这样，如果有n个子元素，它们对应于此顺序中的factorsation 1、2、…、n，并记录在单独的“已跳过”中每个子顶点中的字段是为生成此子顶点而跳过的一组早期（在排序中）因式分解。然后，在访问顶点时，避免将其任何“已跳过”的因式分解生成为子代，因为这样做会创建一个与其他现有顶点相同的顶点（通过以相反顺序执行相同的操作对）

可能还有其他可用的加速功能可以减少最初生成的重复顶点的数量，但这应该足以获得小问题的结果。
以矩阵形式写下求和。然后你需要的是矩阵的秩，以及相应的并矢积分解。这种分解远非独一无二

            [ 3  5 ]   [ i ] 
[ B C D ] * | 3  5 | * [ j ]
            [ 5  5 ]   

正如我们所看到的，中间的矩阵具有满秩2＜/p>。

如果您打算将2和3也用作变量，那么您需要将3阶张量分解为最少数量的分解项，即向量的张量积。
您可能需要将其发布。谢谢。我不知道。。如果你想把一个问题转移到另一个网站上，你可以标记它并要求它被迁移，或者干脆删除它并在适当的网站上重新提问。我希望我的问题出现在两个网站上。因为，这个问题在计算机科学中可能有一个相关的算法。如果你真的想把数字（2和3）当作不可组合的量，请将它们重命名为字母（例如x和y）。目前，它们只是通过看起来可以组合来混淆问题（例如，如果你的公式是一个总和，
B*2*j
和
B*3*j
可以组合成
B*5*j
，乘积公式
D*（2+3）*（i+j）
可以简化为
D*5*（i+j）
）.这个算法的时间复杂度是多少？看起来每个顶点都有很多分支。@injoy:如果有n个可能的（部分）因式分解，那么如果没有“已跳过”的概念，它应该访问每个顶点一次，但它还花费时间为每个节点生成多达O（m^2）个子节点，所有这些子节点都可能会因为以前见过而被丢弃。n可能与m叶上标记树的数量一样大。使用“已跳过”，应该可以避免生成被