Algorithm 为什么Quicksort的深层函数调用堆栈在输入中有许多重复项？

我正在阅读节目采访的内容，在第43页，有以下行/引语：

quicksort实现简单，运行时间长，函数调用堆栈深 在具有多个重复项的阵列上，因为子阵列的大小可能差异很大

一种解决方案是对数组进行重新排序，使所有小于轴的元素首先出现， 后跟等于轴的元素，后跟大于轴的元素

这被称为荷兰国旗分割

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我在想象第一行中描述的问题时遇到了很多困难，因此我不明白荷兰国旗分割方案有什么帮助。我找不到一个网页能清楚地解释这一点。我能得到一些直观的解释吗？

快速排序算法的步骤之一是，需要一些算法根据选定的轴对数据进行分区。理想的情况是每个分区都尽可能小，因此需要更少的进一步分区。如果超过一半的元素在一个分区中结束，则需要更多的步骤来完成该算法

作为一个说明性的例子，为什么重复导致了这种不对称性，考虑排序下面的列表，其中包含八个值相同的值中的六个元素：

2,2,1,2,2,2,2,3

如果您被要求将其划分为两个列表，那么您可能会将小于枢轴的所有元素放在一个分区中，而将大于或等于枢轴的所有元素放在另一个分区中

例如，这就是公共的工作方式，枢轴本身被排除在两个分区之外。这种算法通常被认为是相对简单的理解和实现，因此可能是作者心目中的短语“天真的实现”

在该方案中，第一步可能按如下方式对列表进行分区：

• 支点：2
• 小于枢轴：1
• 大于或等于枢轴：2，2，2，2，2，3

然后对第二个分区进行递归分区：

• 支点：2
• 小于透视：[空列表]
• 大于或等于枢轴：2,2,2,2,3

步骤3：

• 支点：2
• 小于透视：[空列表]
• 大于或等于枢轴：2,2,2,3

步骤4：

• 支点：2
• 小于透视：[空列表]
• 大于或等于枢轴：2，2，3

步骤5：

• 支点：2
• 小于透视：[空列表]
• 大于或等于枢轴：2，3

步骤6：

• 支点：2
• 小于透视：[空列表]
• 大于或等于枢轴：3

这里递归可以最终停止。如果分区总是大小相等（分区为4、2和1），那么这比我们预期的3个步骤要糟糕得多。枢轴的选择并不重要，因为即使我们很快找到3的正确位置，我们仍然需要为列表中的每2个选择一个步骤

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“fat-pivot”或“Dutch-flag”分区方案通过将与pivot相等的所有值分离到第三个分区来扩展上述内容。这不仅仅是平衡分区，结果是两个分区都更小

在我们的示例中，结果立即如下所示：

• 支点：2
• 等于枢轴：2,2,2,2,2,2
• 小于枢轴：1
• 超过1:3

由于新分区中的值都相等，因此不需要进一步排序。在我们的示例中，其余的分区每个都有一个元素，因此根本不需要执行任何递归。对于不太极端的情况，剩下来排序的两个分区都会更小，因此需要更少的后续步骤来排序

然而，由于分区算法的更大复杂性，这一分区步骤的成本将更高

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其他分区方案有两个分区，但允许在任意一个分区中包含与枢轴相同的值。这意味着分区在每一步都可以均匀地调整大小，即使有重复的值（尽管它不能保证它们是相同的）。当发明快速排序时，它具有这个特性

在这种情况下，第一步可能会得出如下结果：

• 左分区：2,2,1,2
• 右分区：2，2，2，3

对于我们的极端示例，这比“胖轴心”的效率要低，但比一个非常大的分区和一个非常小的分区的效率要高得多

快速排序有大量的运行时间和深度函数调用堆栈 在具有多个重复项的数组上

这仅适用于Lomuto类型的分区方案，与1961年发布的原始Hoare分区方案相比，这是1984年首次提及的快速排序的变体。通常，Lomuto分区步骤会产生3个子分区：元素<枢轴，枢轴（单个元素），元素>=枢轴。在所有元素都相等的情况下，分区步骤会导致0个元素=pivot，在n-1元素分区上递归，每个递归级别只删除一个元素，这是时间复杂度为O（n^2）的快速排序的最坏情况

对于Hoare分区方案，随着重复数的增加，分区将产生更接近相等大小的子分区。在所有元素都相等的情况下，Hoare分区方案会产生理想的50%/50%分割，因为分区循环会导致工作左（wiki文章中的i）和右（wiki文章中的j）索引在中间相遇。将存在不必要的相等元素交换，但避免交换的检查通常会增加运行时间，而不仅仅是针对典型情况进行交换。通常，随着重复百分比的增加，索引在分区中间附近相遇的概率越大

做三方派对