Algorithm 找出四个和给定数相加的连续数

假设有一个给定的数字，我们应该测试它是否是四个连续数字的乘积

因此，如果

y

是我们给定的数字，我们应该测试

y=x（x+1）（x+2）（x+3）

对于任意

x

如何为这个问题设计一个算法

我是这样做的：

import java.util.*;

public class Product 
{
    public static int product(int i)
    {
         return i * (i+1) * (i+2) * (i+3);
    }

    public static void main(String[] args) 
    {
        Scanner scnr = new Scanner(System.in);
        int x = scnr.nextInt();
        for (int i = 0; i < x/2; i++)
        {
            if (product(i) == x)
            {
                System.out.println("number is product of 4 consecutive numbers");
                break;
            }
        }
    }
}

import java.util.*；
公共类产品
{
公共静态整数乘积（整数i）
{
返回i*（i+1）*（i+2）*（i+3）；
}
公共静态void main（字符串[]args）
{
扫描仪scnr=新扫描仪（System.in）；
int x=scnr.nextInt（）；
对于（int i=0；i

编辑：错误地阅读问题，但要了解问题的价值（一种快速测试问题是否是四个连续整数的乘积的方法）：

---

四个连续整数的任何乘积都比a大。

我首先要得到“y”的第四个根。这将为您提供可以使用的y（即“x”）的最小因子的近似值。将此作为标准因式分解算法的基础。

对于许多数字，我们可以很容易地看到它们是否适合某个X：

• Y必须能被3整除，因为至少有一个连续数字能被3整除
• Y必须能被4整除，因为至少有一个连续数字能被4整除

所以Y必须至少能被12整除（3*4）。 这意味着你可以轻易地扔掉所有数字的92%

因为Y的值至少包含X的四次方，所以可以先取Y的四次方根（或者用英语怎么称呼它），然后将其四舍五入为整数值，称之为X，并计算X（X+1）（X+2）（X+3）的结果

结果可能会更高（因为我们忽略了其他因素，比如X的3次方，X的2次方，…）

现在从X中减去1并执行相同的计算

---

只要结果高于Y，重复此操作直到结果低于Y，否则您将获得Y。

您的方程式可以简化为

y = x^4 + 6*x^3 + 11*x^2 + 6x

您可以从x=1开始，然后向上检查。我们可以注意到一个非常容易计算的上界：y的第四个根（或者y的平方根的平方根）。意思是，当你达到这个数字时，你可以停下来。这对你来说是幸运的，因为对我们来说幸运的是，第四根非常小

对于10000以下的数字，这很容易检查，因为最多要检查10个整数。如果您的数字小于500，则最多只需检查四个整数

在1000000+时，您必须开始检查31个或更多的数字，因此它可能会变得不那么琐碎

---

上下限 经过仔细的改进，我们得出了两个结论：

y^0.25-1.2的更精确上界

y^0.25-1.5的确定下界

所以

注意，在这种情况下，对于任何给定的y，最多要检查两个数字

---

编辑：在将x细化为仅整数后，在所有情况下，当范围缩小为一个数字时，似乎只有一个数字需要检查。酷！（感谢Brian）

计算

y

的第四个根，将其四舍五入并称之为

a

<代码>a（a-1）（a-2）（a-3）远小于

y

。计算

y

的第四个根，将其四舍五入，并将其称为

b

<代码>b（b+1）（b+2）（b+3）远大于

y

。现在您可以从三个可能的数字开始：

a-2

、

a-1

和

a

（注意

a=b

或

a=b-1

）。因此，检查

（a-2）（a-1）a（a+1）

，

（a-1）a（a+1）（a+2）

和

a（a+1）（a+2）（a+3）

就足够了

您只需测试

地板（y**（0.25）-1）

。当y接近无穷大时，x接近y**0.25-1.5（从下方）

在某种程度上，这是相当直观的

x*（x+1）*（x+2）*（x+3）

是四个数字的乘积，其平均值等于

x+1.5

。当x高时，1.5看起来很小。

从

y = x(x+1)(x+2)(x+3) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x

请注意，系数看起来几乎是对称的，但末尾没有1

所以假设

y = z^2 - 1

i、 e

有x的所有幂的系数，直到4，x^4和x^0的幂的系数都是1，所以我们需要找到x^1的系数，我们称之为

a

：

z = (x^2 + ax + 1)^2 = x^4 + 2ax^3 + (2+a^2)x^2 + 2ax + 1

比较x^1、x^2或x^3的系数得出

a=3

（上述方程式不要求x、y或z中的任何一个为整数，但可能会丢失我们不感兴趣的复数或负根）

所以我们可以为

x

解一个二次方程：

x^2 + 3x + 1 - sqrt(y+1) = 0

给予

如果

sqrt（y+1）

是一个完美的平方

z

，

（5+4z）

也是一个完美的平方（如果

z

是一个整数，

5-4z

是奇数，那么它的平方根，如果是整数，也是奇数，

x

将是整数）

所以，测试

z=sqrt（y+1）

是否为整数，然后测试

5+4z

是否为完美平方。

答案非常简单。
对于给定的数字y，如果y+1不是完全平方，则y不是四个连续数字的乘积。

---

如果y+1是完全平方，那么y是四个连续数的乘积，当且仅当sqrt（5+4*sqrt（y+1））是整数。

正如其他人所说，从y的第四个根开始（我们称之为z）

在序列x，x+1，…x+3中，我们知道有些值必须小于z，有些值必须大于z（因为它们不可能都等于z）

所以，我们知道

x <= ceiling(z)
x+3 >= floor(z)

x=楼层（z）

这给了你一个很小的范围

x^2 + 3x + 1 - sqrt(y+1) = 0

x = -3 +/- sqrt(9 - 4 * (1-sqrt(y+1))) 
    ---------------------------------
                2

  = -3 +/- sqrt(5 + 4 sqrt(y+1)) 
    ----------------------------
                2

x <= ceiling(z)
x+3 >= floor(z)