Algorithm 二部图中的交叉数

在二部图中，左侧有n个节点，右侧有m个节点。节点的顺序为1到n和1到m。左侧的节点连接到右侧的节点。未连接所有节点。例如：

1 is connected to 4

2 is connected to 3

3 is connected to 2

3 is connected to 1

我想知道图中有多少个交叉点（这里有5个交叉点）。类似的问题也在发生

我想知道如何使用一些用户提到的二叉索引树来解决这个问题。我用O（n^2）算法求解，得到TLE

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这不是家庭作业。昨天我学到了一点，并在寻找一些问题，所以我遇到了这个。告诉我诀窍。请不要编写整个程序。

按左节点的索引对边排序，然后（对于相等的左索引）按右节点的索引排序。查看右节点的索引。图中的每个交叉点对应于一对索引，这些索引在该排序列表中不按顺序排列。你只需要数一数这样的“无序”对

按顺序将排序列表中右节点的每个索引插入到二叉索引树中。在每次插入之后，您可以在O（log（m））时间内找到树中已经有多少个较大的索引。因此，整个算法的时间复杂度为O（h*（log（h）+log（m））：O（h*log（h））用于排序，O（h*log（m））用于计算索引反转的数量（这里“h”是边的数量）。您可以使用基数排序或桶排序将其改进为O（h*log（m））

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更新：

正如Android Decoded所注意到的，可以使用基于合并排序的分治算法来解决反演的数量问题。见详细说明。这种方法的时间复杂度O（h*log（h））比使用二叉索引树O（h*log（m））的复杂度大，但是对于稀疏图，边的数量不比节点的数量大很多，它应该更快，因为它需要更少的内存，并且对缓存更友好

如果在合并过程中消除重复条目，则合并排序方法的复杂性可能会提高到O（h*log（m））。为此，对（value，numberOfInstances）对应用合并排序，其中相邻的相同值组合成一个具有适当“numberOfInstances”的条目。在最坏的情况下，对于第一个日志（m）合并过程没有消除重复项，这具有O（h*log（m））的复杂性；然后，当在O（h）时间内快速消除重复项时，最多会保留日志（n）个过程

二叉索引树用法详细信息：

实现一个二叉索引树，对于给定的键可以返回其在树中的索引，从最大值开始（最大值->索引0，第二大值->索引1，…）。然后在将每个元素插入到树中之后，请求其索引，即排序列表中该元素左侧较大值的数目

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更多细节：二叉索引树可以实现为一个搜索树，其每个节点都由后代节点的计数器进行扩充。不要为重复元素创建单独的节点，只需更新每个元素的子代节点计数器。当询问某个键的索引时，我们应该首先搜索一个节点，对应于树中的该索引；然后，我们应该对当前节点的每个祖先的直接右后代的所有计数器求和，包括当前节点本身的右后代，但不包括当前节点位于其某些祖先右侧的所有情况。

如果我正确理解了您的问题，那么

我们知道两个集合之间可以有NpowerM（让这个值为X）关系 如果我们能找到一个没有交集的集合（假设我们找到它是Y），那么我们从X中减去Y，这就是X-Y，从数学上回答你的问题。。

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为了找到Y，你对另一边的元素进行排序，比如说在集合M上，然后找到最长的递增子序列（“http://en.wikipedia.org/wiki/Longest_increasing_subsequence这可以在O（nm）内完成，如果你足够聪明，那么你可以在O（NlogM）内完成。。。时间为明确解决方案（此处存在类似问题）http://people.csail.mit.edu/bdean/6.046/dp/“单击building bridges链接）

如果我正确理解了您的答案，它将以以下图形失败：{（1,3）、（2,4）、（3,1）、（4,2）}.Hmmm。。那看起来很酷。。令人惊叹的！排序后，此问题变为可通过合并排序解决的反转数问题。。令人惊叹的。。将在其他测试用例中验证它。。Thanks@AndroidDecoded：是的，合并排序在这里应该比索引树更有效。你能详细说明一下我们如何使用二叉索引树来解决这个问题吗？你应该重新考虑这个问题域。图形节点没有顺序，因此您可以绘制上面的示例图形，而不需要任何交叉（绘制两列3,1,2,4和1,2,4,3））。因此，您应该对节点的绘制方式施加一些几何约束，或者要求最小的交叉次数（然后您应该更正您的示例）。