Algorithm 构造一个包含哈密顿路径的图

背景我正在研究一个优化问题，并设法将问题简化为检查图形是否包含哈密顿路径。减少的问题如下：

问题我们得到了一系列边（例如：

e[1,5]，e[3,4]，…，e[2,3]

）。我们需要找到从这个序列开始的边的数目，这样使用这些边形成的图就包含一个哈密顿路径。我们还需要返回路径

我的算法这个问题可以从一个没有边的图开始解决。我们一个接一个地插入边，并在每次迭代中检查图是否包含哈密顿路径。通过使用哈密顿路径存在的必要条件，可以使这种方法更快一些。尽管如此，该算法仍然相当低效

一个大问题有没有一种方法可以更有效地解决这个问题（可能是通过使用在早期迭代中完成的计算来加速后期迭代）？

我建议使用来解决这个问题。我将坚持使用框架，但您可以考虑其他选项，例如

让我们介绍一组表示图中每个顶点的布尔变量：

v_0，v_1，…，v_N

接下来，让我们引入一组布尔变量来表示每个可能的边（显然是N^2）：

e_0，e_1，…，e_{N^2}

查看详细信息

当且仅当图中存在对应的顶点/边时，布尔变量X为True。在您的情况下，我们讨论的是边

此时，您可以尝试将边选择算法作为一组布尔约束引入：

如果顶点v_i的阶数为D，则边E必须存在

如果存在v_i和v_j之间的边，则边E必须不存在

等

您可以依靠引入此类约束

如果对输入变量有这样的赋值，结果布尔公式返回True（满足要求），则可以将此赋值设置为包含哈密顿路径的图形，并由给定的规则集（约束）构建。您可以使用SAT解算器（例如，查找此类作业）

我使用了类似的方法来解决10^5个变量和10^6个约束的实际问题。这可能会耗费大量的时间和内存，但它比暴力要好得多，而且更加灵活：您可以轻松地添加/删除其他约束，而无需修改代码

我看到了一些缺点：

在您的情况下，这种方法可能没有那么大的可扩展性。结果在很大程度上取决于问题本身，因此很难预测

将图形构建过程编码为一组布尔约束是一项非常重要的任务

本质上，SAT解算器返回随机赋值。如果你想看到其他解/图，你必须为你的问题添加新的约束

我的算法可能并不完美，但如果您不知道如何准确地构建结果（因此除了暴力之外，没有明确的算法来实现），约束满足性工具包是非常有效的方法

编辑：

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如果一个图是加权的，你仍然可以使用SAT来解决这个问题，但这将是非常困难的：权重应该在给定的范围内，并且应该是离散的。但是，你可以考虑< /P>你有更多的关于步骤2是如何完成的信息吗？更具体地说，如何选择要添加的边？N有多大？有什么估计吗？inTrunky现在我正在研究N大约为100的问题，但我最终想解决N可以为10的问题^4@justhalf请看我对这个问题的编辑。这个答案提供了一种用哈密顿路径构造图的方法。我意识到我对这个问题的说明有点不清楚。我有edited问题，请看一下更新的版本。我试图解决的是检查图是否有哈密顿路径，而不是构造这样的图。@LakshayGarg您可以或多或少地使用相同的方法来检查是否有哈密顿路径。我很好奇，您真的需要增量构建图吗？我的方法允许你只需要单步构建。不，没有必要以增量方式构建图，但我不确定如何在SAT中包含最小路径权重约束。此外，对于我正在处理的问题，我相信插入边的序列将非常接近最小权重哈密顿路径。我会仍然尝试实施您的方法，看看它是否更有效。@LakshayGarg您可以使用混合整数规划来解决相同的问题。它更适合处理权重。或者您可以尝试最大满意度方法，但这将非常困难。